به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
35 بازدید
در دبیرستان توسط hosseinmodarresi (10 امتیاز)

قضیه: فواصل هر نقطه واقع بر میانه مثلث از دو ضلع مجاور، بر نسبت عکس این اضلاع است.

فرض: میانه مثلث ABC خط AP است و KN،KM بر AC و AB عمود هستند.

حکم: KN/KM = AC/AB

توضیحات تصویر

مرجع: هندسه چهار نظام قدیم صفحه 195

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط hosseinmodarresi (10 امتیاز)

ارتفاع مثلث ABC را رسم می کنیم تا BC را در H قطع کند. و در مثلث ACP و ABP ارتفاع PQ و PZ را به صورت شکل زیر رسم می کنیم.

توضیحات تصویر

مساحت مثلث APC برابر است با:

1/2.AH.CP

مساحت مثلث ABP برابر است با:

1/2.AH.BP

از آنجایی که AP میانه است پس CP=BP است پس مساحت دو مثلث ACP با ABP مساوی است.

چون PQ ارتفاع مثلث ACP است؛ مساحت ACP برابر است با:

1/2.PQ.AC

چون PZ ارتفاع مثلث ABP است؛ مساحت ABP برابر است با:

1/2.PZ.AB

از آنجایی که نتیجه گرفتیم مساحت این دو مثلث برابر است پس داریم:

1/2.PQ.AC = 1/2.PZ.AB

دو طرف رابطه بالا را در 2 ضرب میکنیم:

PQ.AC = PZ.AB

حال دو طرف را در یک بر روی PZ ضرب می کنیم:

PQ.AC/PZ=AB

حال دو طرف را در یک بر روی AC ضرب می کنیم؛ نتیجه میگیریم که:

رابطه 1

PQ/PZ=AB/AC

در مثلث AQP نسبت به دو متوازی KM و PQ داریم:

رابطه 2

KM/PQ = AK/AP

در مثلث AZP نسبت به دو متوازی KN و PZ داریم:

رابطه 3

KN/PZ = AK/AP

از رابطه 2 و 3 نتیجه می گیریم:

رابطه 4

KM/PQ = KN/PZ = AK/AP

رابطه زیر از رابطه 4 گرفته شده:

KM/PQ = KN/PZ

دو طرف را در یک بر روی KM ضرب می کنیم:

KN/PZ.KM = 1/PQ

حال دو طرف را در PZ ضرب می کنیم:

رابطه 5

PZ/PQ = KN/KM

بنا بر رابطه 1 نتیجه می گیریم:

رابطه 6

PZ/PQ = AC/AB

بنا بر رابطه 6 و 5 به حکم می رسیم پس:

KN/KM = AC/AB


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...