قضیه همگرایی : روش تکراری $ X^{k} =H X^{k-1} $ که برای حل سیستم $AX=b $ به کار گرفته می شود علیرغم هر تقریب اولیه همگرا به مقدار واقعی جواب است اگر $ \parallel H \parallel < 1 $
طبق فرض داریم:
$a_{ii}> \sum_{j=1,j \neq i}^n a_{ij} $ یا $ \sum_{j=1,j \neq i}^n \frac{a_{ij}}{a_{ii}} < 1$
فرض کنید:
$$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \ldots &a_{1n} \\a_{21} & a_{22}& \ldots &a_{2n} \\ \ddots \\a_{n1} & a_{n2}& \ldots &a_{nn} \end{bmatrix} $$
اگر روش ژاکوبی باشد داریم: $H= D^{-1} (L+U)$
که
$$D= \begin{bmatrix} a_{11} & 0& \ldots &0 \\0 & a_{22}& \ldots &0\\ \ddots \\0 & 0& \ldots &a_{nn} \end{bmatrix}$$
پس:
$$D^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{11} } & 0& \ldots &0 \\0 & \frac{1}{a_{22} }& \ldots &0\\ \ddots \\0 & 0& \ldots & \frac{1}{a_{nn}} \end{bmatrix}$$
و
$$L+U= \begin{bmatrix} 0 & a_{12}& \ldots &a_{1n} \\a_{21} & 0& \ldots &a_{2n} \\ \ddots \\a_{n1} & a_{n2}& \ldots &0 \end{bmatrix} $$
پس$ H $ برابر است با:
$$H=\begin{bmatrix} 0 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & \ldots & \frac{a_{1n}}{a_{11}} \\ \frac{a_{21}}{a_{22}} & 0& \ldots & \frac{a_{2n}}{a_{22}} \\ \ddots \\ \frac{a_{n1}}{a_{nn}} & \frac{a_{n2}}{a_{nn}}& \ldots &0 \end{bmatrix} $$
حال کافیست نرم ماکزیمم سطری ماتریس را حساب کنیم که
$$\sum_{j=1,j \neq i}^n \frac{a_{ij}}{a_{ii}} $$
می شود که طبق آنچه در اول گفته شد از $1$ کمتر است و طبق قضیه همگرایی این روش همگرا است.
