اثبات همگرایی روش ژاکوبی

Question

نشان دهید اگر ماتریس $A$ غالب قطری اکید باشد یعنی $a_{ii}> \sum_{j=1,j \neq i}^n a_{ij}$ آنگاه روش ژاکوبی همگراست.

Answer 1

قضیه همگرایی : روش تکراری $X^{k} =H X^{k-1}$ که برای حل سیستم $AX=b$ به کار گرفته می شود علیرغم هر تقریب اولیه همگرا به مقدار واقعی جواب است اگر $\parallel H \parallel < 1$

طبق فرض داریم: $a_{ii}> \sum_{j=1,j \neq i}^n a_{ij}$ یا $\sum_{j=1,j \neq i}^n \frac{a_{ij}}{a_{ii}} < 1$

فرض کنید:

$$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \ldots &a_{1n} \\a_{21} & a_{22}& \ldots &a_{2n} \\ \ddots \\a_{n1} & a_{n2}& \ldots &a_{nn} \end{bmatrix}$$

اگر روش ژاکوبی باشد داریم: $H= D^{-1} (L+U)$ که

$$D= \begin{bmatrix} a_{11} & 0& \ldots &0 \\0 & a_{22}& \ldots &0\\ \ddots \\0 & 0& \ldots &a_{nn} \end{bmatrix}$$ پس: $$D^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{11} } & 0& \ldots &0 \\0 & \frac{1}{a_{22} }& \ldots &0\\ \ddots \\0 & 0& \ldots & \frac{1}{a_{nn}} \end{bmatrix}$$ و $$L+U= \begin{bmatrix} 0 & a_{12}& \ldots &a_{1n} \\a_{21} & 0& \ldots &a_{2n} \\ \ddots \\a_{n1} & a_{n2}& \ldots &0 \end{bmatrix}$$ پس$H$ برابر است با: $$H=\begin{bmatrix} 0 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & \ldots & \frac{a_{1n}}{a_{11}} \\ \frac{a_{21}}{a_{22}} & 0& \ldots & \frac{a_{2n}}{a_{22}} \\ \ddots \\ \frac{a_{n1}}{a_{nn}} & \frac{a_{n2}}{a_{nn}}& \ldots &0 \end{bmatrix}$$ حال کافیست نرم ماکزیمم سطری ماتریس را حساب کنیم که $$\sum_{j=1,j \neq i}^n \frac{a_{ij}}{a_{ii}}$$ می شود که طبق آنچه در اول گفته شد از $1$ کمتر است و طبق قضیه همگرایی این روش همگرا است.