به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,657 بازدید
در دانشگاه توسط behruz
ویرایش شده توسط behruz

در روش تکراری گاوس سایدل شرط همگرایی در حالتی که $A$ قطری غالب باشد چیست؟

توسط erfanm
+1
یکی از شروط کافی برای  همگرایی این است که ماتریس ضرایب دستگاه اکیدا قطری غالب باشه
توسط رها
+1
تعریف ماتریس قطری غالب این بود که مجموع درایه های هر سطر از درایه ی روی قطر اصلی کمتر باشه, درسته؟
توسط erfanm
بله درسته تعریفش همونه

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط behruz
انتخاب شده توسط behruz
 
بهترین پاسخ

ابتدا توجه به این نکته داریم که اگر ماتریس $A$ غالب قطری باشد باید عناصر روی قطر مخالف صفر باشند. حال به اثبات قضیه میپردازیم:

در روش گاوس سایدل که نمونه ای از روش شکافی $(A=M-N)$است داریم $M=D-E$ و $N=F$ که $D$ عناصر روی قطر اصلی $A$ و $E$ قرینه عناصر پایین قطر اصلی و $F$ قرینه عناصر بالای قطر اصلی ماتریس $A$ است.یعنی $A$ را میتوان بصورت زیر نمایش داد:

enter image description here

حال با توجه به اینکه در روش تکراری داریم: $ X^{k+1}=M^{-1} NX^{k}+M^{-1}b $ با جایگذاری عبارات تعریف شده در بالا برای $M$ و $N$ خواهیم داشت: $$X^{k+1}=(D-E)^{-1}FX^{k}+(D-E)^{-1}b $$ از طرفی میدانیم شرط همگرایی در روش تکراری این است که $ \rho (M^{-1}N) < 1$.

حال فرض کنیم $( \lambda ,x)$ زوج ویژه $M^{-1}N=(D-E)^{-1}F$ باشد پس:

$$(D-E)^{-1}F*x= \lambda* x$$ $$Fx= \lambda (D-E)x$$

اگر جمله $i$ ام رابطه فوق رابنویسیم داریم: $$ -\sum_{j=i+1}^n a_{ij}x_j= \lambda \sum_{j=1}^i a_{ij}x{j} $$ $$ -\sum_{j=i+1}^n a_{ij}x_j= \lambda \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x{j}+ \lambda a_{ii}x_i $$ $$ \lambda a_{ii}x_i =-\sum_{j=i+1}^n a_{ij}x_j- \lambda \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x{j}$$ پس:

$$ \lambda a_{ii}x_i \leq \sum_{j=i+1}^n \mid a_{ij }\mid \mid x_j \mid + \lambda \sum_{j=1}^{i-1} \mid a_{ij} \mid \mid x{j} \mid $$

در نتیجه $$\lambda \leq \frac{\sum_{j=i+1}^n a_{ij}}{a_{ii}-\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}} $$

که با توجه به غالب قطری بودن ماتریس $A$ همواره خواهیم داشت: $$ \rho (M^{-1}N) < 1$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...