ابتدا توجه به این نکته داریم که اگر ماتریس A غالب قطری باشد باید عناصر روی قطر مخالف صفر باشند. حال به اثبات قضیه میپردازیم:
در روش گاوس سایدل که نمونه ای از روش شکافی (A=M-N)است داریم M=D-E و N=F که D عناصر روی قطر اصلی A و E قرینه عناصر پایین قطر اصلی و F قرینه عناصر بالای قطر اصلی ماتریس A است.یعنی A را میتوان بصورت زیر نمایش داد:
حال با توجه به اینکه در روش تکراری داریم:
X^{k+1}=M^{-1} NX^{k}+M^{-1}b با جایگذاری عبارات تعریف شده در بالا برای M و N خواهیم داشت:
X^{k+1}=(D-E)^{-1}FX^{k}+(D-E)^{-1}b
از طرفی میدانیم شرط همگرایی در روش تکراری این است که
\rho (M^{-1}N) < 1.
حال فرض کنیم ( \lambda ,x) زوج ویژه M^{-1}N=(D-E)^{-1}F باشد پس:
(D-E)^{-1}F*x= \lambda* x
Fx= \lambda (D-E)x
اگر جمله i ام رابطه فوق رابنویسیم داریم:
-\sum_{j=i+1}^n a_{ij}x_j= \lambda \sum_{j=1}^i a_{ij}x{j}
-\sum_{j=i+1}^n a_{ij}x_j= \lambda \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x{j}+ \lambda a_{ii}x_i
\lambda a_{ii}x_i =-\sum_{j=i+1}^n a_{ij}x_j- \lambda \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x{j}
پس:
\lambda a_{ii}x_i \leq \sum_{j=i+1}^n \mid a_{ij }\mid \mid x_j \mid + \lambda \sum_{j=1}^{i-1} \mid a_{ij} \mid \mid x{j} \mid
در نتیجه
\lambda \leq \frac{\sum_{j=i+1}^n a_{ij}}{a_{ii}-\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}}
که با توجه به غالب قطری بودن ماتریس A همواره خواهیم داشت:
\rho (M^{-1}N) < 1
