ابتدا توجه به این نکته داریم که اگر ماتریس $A$ غالب قطری باشد باید عناصر روی قطر مخالف صفر باشند. حال به اثبات قضیه میپردازیم:
در روش گاوس سایدل که نمونه ای از روش شکافی $(A=M-N)$است داریم $M=D-E$ و $N=F$ که $D$ عناصر روی قطر اصلی $A$ و $E$ قرینه عناصر پایین قطر اصلی و $F$ قرینه عناصر بالای قطر اصلی ماتریس $A$ است.یعنی $A$ را میتوان بصورت زیر نمایش داد:
حال با توجه به اینکه در روش تکراری داریم:
$ X^{k+1}=M^{-1} NX^{k}+M^{-1}b $ با جایگذاری عبارات تعریف شده در بالا برای $M$ و $N$ خواهیم داشت:
$$X^{k+1}=(D-E)^{-1}FX^{k}+(D-E)^{-1}b $$ از طرفی میدانیم شرط همگرایی در روش تکراری این است که
$ \rho (M^{-1}N) < 1$.
حال فرض کنیم $( \lambda ,x)$ زوج ویژه $M^{-1}N=(D-E)^{-1}F$ باشد پس:
$$(D-E)^{-1}F*x= \lambda* x$$
$$Fx= \lambda (D-E)x$$
اگر جمله $i$ ام رابطه فوق رابنویسیم داریم:
$$ -\sum_{j=i+1}^n a_{ij}x_j= \lambda \sum_{j=1}^i a_{ij}x{j} $$
$$ -\sum_{j=i+1}^n a_{ij}x_j= \lambda \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x{j}+ \lambda a_{ii}x_i $$
$$ \lambda a_{ii}x_i =-\sum_{j=i+1}^n a_{ij}x_j- \lambda \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x{j}$$
پس:
$$ \lambda a_{ii}x_i \leq \sum_{j=i+1}^n \mid a_{ij }\mid \mid x_j \mid + \lambda \sum_{j=1}^{i-1} \mid a_{ij} \mid \mid x{j} \mid $$
در نتیجه
$$\lambda \leq \frac{\sum_{j=i+1}^n a_{ij}}{a_{ii}-\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}} $$
که با توجه به غالب قطری بودن ماتریس $A$ همواره خواهیم داشت:
$$ \rho (M^{-1}N) < 1$$
