به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
353 بازدید
در دبیرستان توسط
برچسب گذاری دوباره توسط AmirHosein

چند روش برای تعیین رتبه یک ماتریس وجود دارد؟میشه لطفا نام برده و کتابی درهر مورد برام معرفی کنید تا مطالعه کنم

توسط erfanm (13,856 امتیاز)
+1
دوست عزیز لطفا در انتخاب برچسب دقت کنید.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط kazomano (2,561 امتیاز)

روش های زیادی وجود داره که با مراجعه به کتاب های جبرخطی میتونید اطلاعات زیادی به دست بیارید. اما در اینجا یک روش جالب رو براتون توضیح میدم.

فرض کنیم $A$ ماتریسی $m \times n$ باشه. برای هر جفت از اندیس های $2 \leq i \leq m$ و $2 \leq j \leq n$ زیردترمینان $2 \times 2$ به صورت زیر تعریف می‌کنیم

$$ d_{ij}=| \begin{bmatrix} a_{11} & a_{1j} \\ a_{i1} & a_{ij} \end{bmatrix}|=a_{11}a_{ij}-a_{i1}a_{1j} $$

در اینصورت با فرض $ a_{11} \neq 0 $ داریم

$$rank(A)=1+rank \big( \begin{bmatrix} d_{22} & \cdots & d_{2n} \\ \vdots & &\\ d_{m2} & \cdots & d_{mn} \end{bmatrix} ) $$

اثباتش ساده ولی اثباتش رو در اینجا ذکر نمیکنم و در انتها ارجاع میدم. به عنوان مثال

$$rank \begin{bmatrix}3 & -8 & 7 \\5 & -4 & 9 \\ 2 & 3 & 6 \end{bmatrix}=1+rank \begin{bmatrix}28 & -8 \\25 & 4 \end{bmatrix}=2+rank(312)=3 $$ $$rank \begin{bmatrix}4 & 3 & -5 & 6 \\6 & 2 & 0 & 2 \\ 3 & 5 & -12 & 5 \\ 2 & 2 & -4 & 2 \end{bmatrix}=1+rank \begin{bmatrix}10 & 30 & -28 \\11 & -33 & 2 \\ 2 & -6 & -4 \end{bmatrix}=2+rank \begin{bmatrix}0 & 288 \\0 & 96 \end{bmatrix} =3 $$

مرجع

linear algebra gems--david carlson ,johnson


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...