به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–2 امتیاز
76 بازدید
در دبیرستان توسط mathvi2021 (-2 امتیاز)

ثابت کنید به ازای همه مقادیر a منحنی y=(2(a-1)x+3)/(2ax+4a-2) از دو نقطه ثابت میگذردو آن نقاط را پیدا کنید.

توسط AmirHosein (18,510 امتیاز)
+1
@mathvi2021 عنوان پرسش نامناسب است! پست زیر را بخوانید و سپس عنوان‌تان را ویرایش کنید.
https://math.irancircle.com/11973
آیا برای دو سه مقدار مختلفِ $a$ اصلا نمودار را کشیده‌اید؟ برای نمونه یک بار $a=0$ و یک بار دیگر $a=1$؟ چند رسم انجام دهید تا ایده بگیرید.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط Ghanoon (91 امتیاز)
ویرایش شده توسط Ghanoon

با سلام.

در این تیپ از سوالات چون به ازای هر مقدار حقیقی a پاسخ صادق است می توان به a مقادیر دلخواه اما منطقی برای راحتی و سرعت کار داد.

اگر $a=1$ :

$y= \frac{3}{2x+2} $

اگر $a=0$ :

$y= \frac{-2x+3}{-2} $

این دو مقدار را برای $a$ انتخاب کردیم تا در یکی از صورت و یا مخرج ضریب $x$ صفر شود و حل معادله راحت تر شود.

$ \frac{3}{2x+2}= \frac{-2x+3}{-2} \rightarrow -6=-4x^{2}+2x+6$

$4x^{2}-2x-12=0 , 2x^{2}-x-6=0=(x-2)(2x+3) , x=2 / x= \frac{-3}{2} $

حال این دو نقطه را در معادله های بالا گذاشته تا عرض این نقاط ثابت را به دست آوریم :

$x=2 \rightarrow y= \frac{1}{2}$

$x= \frac{-3}{2} \rightarrow y=3$

حال که دو نقطه را یافتیم ثابت می کنیم به ازای هر مقدار $a$ نمودار این این دو نقطه عبور می کند :

$ \frac{2(a-1)x+3}{2ax+4a-2}=\frac{2ax+3}{2(a+1)x+4a+2} $

مطابق فرض سوال می توان تساوی بالا را یک بار به ازای $a$ و تساوی آن به ازای $a+1 $ را نوشت.

کافیست درستی تساوی را با استفاده از نقاطی که یافتیم نشان دهیم :

$x=2 \rightarrow \frac{4a-1}{8a-2}= \frac{4a-1}{2(4a-1)}= \frac{1}{2}= \frac{4a+3}{8a+6}= \frac{1}{2}$

$x= \frac{-3}{2} \rightarrow \frac{-3a+6}{a-2}= \frac{-3(a-2)}{a-2}=-3= \frac{-3a+3}{a-1}=-3$

مطابق دو تساوی بالا نشان دادیم به ازای هر مقداری از $a$ دو نقطه ی بالا ثابت هستند.

توسط AmirHosein (18,510 امتیاز)
@Ghanoon پاسخِ کنونی‌تان تنها نشان می‌دهد که برای دو مقدارِ $a=0,1$، دو نقطه‌ای که یافتید مشترک است، اما پرسش خواسته‌است که ثابت کنید برای هر مقدارِ دلخواهی از $a$ دو نقطهٔ مشترک وجود دارد، لذا تا اینجا نیمی از پاسخ را یافته‌اید. هنوز نیاز است که توضیحی بیفزائید که نشان دهد این دو نقطه عضو نمودار تابع برای سایر انتخاب‌های $a$ نیز هستند.
توسط Rez (4 امتیاز)
راه کلی این نوع مسائل اینه که معادله حاصل از طرفین وسطین کردن را برحسب پارامترa،مرتب کرده و سپس ضریب a ومقدار ثابت را صفر قرار می‌دهیم که معادله زیر بدست میاد.

۲y^۲+۵y-۳=۰
واز اینجا:y=-۳ و y=۱/۲.
توسط AmirHosein (18,510 امتیاز)
@Rez اگر دیدگاه‌تان پیرامون پرسش است و نه این پاسخ، آن را باید زیر خود پرسش بگذارید.
توسط mathvi2021 (-2 امتیاز)
+1
سلام.
برای دو نقطه ثابت شد نه به ازای همه نقاط. راه حل باید جامع باشد.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...