با سلام.
در این تیپ از سوالات چون به ازای هر مقدار حقیقی a پاسخ صادق است می توان به a مقادیر دلخواه اما منطقی برای راحتی و سرعت کار داد.
اگر $a=1$ :
$y= \frac{3}{2x+2} $
اگر $a=0$ :
$y= \frac{-2x+3}{-2} $
این دو مقدار را برای $a$ انتخاب کردیم تا در یکی از صورت و یا مخرج ضریب $x$ صفر شود و حل معادله راحت تر شود.
$ \frac{3}{2x+2}= \frac{-2x+3}{-2} \rightarrow -6=-4x^{2}+2x+6$
$4x^{2}-2x-12=0 , 2x^{2}-x-6=0=(x-2)(2x+3) , x=2 / x= \frac{-3}{2} $
حال این دو نقطه را در معادله های بالا گذاشته تا عرض این نقاط ثابت را به دست آوریم :
$x=2 \rightarrow y= \frac{1}{2}$
$x= \frac{-3}{2} \rightarrow y=3$
حال که دو نقطه را یافتیم ثابت می کنیم به ازای هر مقدار $a$ نمودار این این دو نقطه عبور می کند :
$ \frac{2(a-1)x+3}{2ax+4a-2}=\frac{2ax+3}{2(a+1)x+4a+2} $
مطابق فرض سوال می توان تساوی بالا را یک بار به ازای $a$ و تساوی آن به ازای $a+1 $ را نوشت.
کافیست درستی تساوی را با استفاده از نقاطی که یافتیم نشان دهیم :
$x=2 \rightarrow \frac{4a-1}{8a-2}= \frac{4a-1}{2(4a-1)}= \frac{1}{2}= \frac{4a+3}{8a+6}= \frac{1}{2}$
$x= \frac{-3}{2} \rightarrow \frac{-3a+6}{a-2}= \frac{-3(a-2)}{a-2}=-3= \frac{-3a+3}{a-1}=-3$
مطابق دو تساوی بالا نشان دادیم به ازای هر مقداری از $a$ دو نقطه ی بالا ثابت هستند.
