Question

حداقل با چند برش مستقیم می توان یک نوار کاغذی 1 در 3 را به مربع تبدیل کرد؟

قبلا در پست زیر یک نوار کاغذی 1 در 5 با 3 برش (مستقیم) به مربع تبدیل کردیم.

https://math.irancircle.com/22542

Comments

چند سوال داشتم در مورد سوال شما:
 
اوّل این که منظور شما از برش مستقیم دقیقا چیه و استفاده از خط کش یا پرگار در حل مسئله اشکال داره؟

---

استفاده از خط کش یا پرگار مشکلی نیست برای پیدا کردن نقاط یا راستای برش، اما هر برش شما باید مستقیم یعنی در راستی یک خط باید باشه
ضمنا توجه کنید مجاز به تا کردن نوار کاغذی نیستید.

Answer 1

هر مسطیل دلخواه به طول $b$ و عرض $a$ که$ ( \frac{b}{4}< a< \frac{b}{2} )$ را می توان با سه برش به مربع تبدیل کرد.در شکل زیر مستطیل $ABCD$ را در نظر بگیرید:

حالا روی ضلع $AB$ مربعی $AHKL$ را به طول $ \sqrt{ab} $ بناکنید.حالا این مربع را در جهت مثلثاتی و حول نقطه $A$ آنقدر دوران دهید تا ضلع $HK$ بر $S$ دقیقن وسط $DC$ قرار گیرد.$AL$ را امتداد دهید تا $MN$ را در $W$ قطع کند.واضح است که مثلث $ATH$ بر مثلث $ANW$ قابل انطباق است.حالا مینوان یک برش در گوشه $B$ یا $C$ (بستگی به حالات مستطیل ) و جدا کردن یک مثلث قائم الزاویه کوچک در گوشه $B$ طوری زد که چهارضلعی $DSMW$ را با ذوزنقه $BCSH$ پوشاند.

پس برشها شد سه تا: یکی در راستای $HS$ و یکی در راستای $AT$ و یکی در گوشه $B$ .

در حین کار متوجه می شویم که اگر $b=4a$ تعداد برشها یکی است.

$\Box $

اینکه هر چند ضلعی (نه فقط مسطیل) را می توان با برشها به مربع تبدیل کرد اولین بار و مستقل از همدیگرا توسط $F.Bolyai$ (1833) و $Gerwin$ (1835) انجام شد و حالا این به قضیه (بولیایی-گروین) مشهور است.ایشان چند ضلعی را ابتدا به کمک قطرها به مثلث و مثلث را با دو برش به مسطیل و به شیوه بالا مستطیل را به مربع تبدیل کردند.

Comments

قاسم شبرنگ@ سلام بسیار جالب بود اما برش سوم متوجه نشدم ؟؟ ضمنا سه برش درحالت 2در1 با رسم شکل نشان دهید ممنون می شم. دوست دارم امتیاز این سوال بدهم