وارون تابع $f(x)=x^2+\sqrt{x}$

Question

اگر مقدار تابع $f$ به صورت زیر باشد ضابطه وارون این تابع را حساب کنید.

$$ f(x)=x^2+\sqrt{x} $$

توجه: تابع $f$ یک به یک است.

Answer 1

توجه کنید که دامنه و بُرد تابع $f$ هر دو $[0,\infty)$ هستند. فرض می‌کنیم که خودتان می‌دانید که این تابع یک‌به‌یک است. پس دامنه و برد تابعِ وارونِ آن نیز در صورت وجود با همین دامنه و برد خواهدبود. قرار دهید $z=\sqrt{x}$ در نتیجه $x^2=z^4$ پس $y=x^2+\sqrt{x}$ تبدیل می‌شود به $y=z^4+z$ و $z^4+z-y=0$ و توجه کنید که برای برابری‌های چندجمله‌ای درجهٔ ۴ فرمول رادیکالی وجود دارد. می‌توانید به پیوند زیر نگاه کنید.

https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation#/media/File:The_Quartic_Formula.jpg

فرمولی که ریشهٔ حقیقی و مثبتِ برابریِ $z^4+z-y=0$ را برای مقدارِ داده‌شده‌ای از $y$ می‌دهد را با $g(y)$ نمایش دهید. در آن صورت توجه کنید که چون $x=z^2$ داریم $x=\big(g(x)\big)^2$ پس $f^{-1}(x)=\big(g(x)\big)^2$.

Comments

با سلام امیر حسین این تابع درواقع یک به یک هست ولی مقدار وارون اون این نیست

---

@Arian.math بهتر است به جای اسم از شناسهٔ کاربری استفاده کنید همانند کاری که من در این دیدگاه انجام داده‌ام. غیر از اینکه فردی که نمی‌شناسید را با اسم نباید صدا کنید، استفاده از شناسه این مزیت را دارد که به طور خودکار به کاربرِ خطاب‌شده یک پیام فرستاده می‌شود. و اما پیرامون دیدگاه‌تان. وارونِ یک تابع، تابعی است که پس از ترکیب آن دو با عملِ ترکیبِ توابع به تابع همانی برسید. آیا این دو تابع را ترکیب کردید و به چیزی غیر از تابع همانی رسیدید که این نظر را می‌دهید؟ اگر دلیلی دارید، دلیل را اشاره کنید.