با توجه به معادله زیر، مجموعه مقادیر $x$ را بدست آورید. $$x=(x^2+3x-2)^2+3(x^2+3x-2)-2$$

Question

با توجه به معادلهٔ زیر، مجموعه مقادیر $x$ در مجموعه اعداد حقیقی ($x \in \mathbb{R}$) را به‌دست آورید. $$x=(x^2+3x-2)^2+3(x^2+3x-2)-2$$

Comments

Dana_Sotoudeh@ با توجه به اینکه چهار ریشه غیر صحیح دارد صورت معادله به درستی نوشته شده است؟مثلا اگر به جای$x$ در سمت چپ معادله $-x$ باشد معادله جوابی صحیح خواهد داشت و میشه با ابتکاری در حل آن به جواب رسید.

---

@good4us
با سلام
این سوال یک نکته دارد. درست است که ریشه صحیح ندارد ، اما دو ریشه آن با یک نکته به راحتی بدست می آید. دو ریشه دیگر آن نیز پس از بدست آوردن دو ریشه مذکور بدست می آید.
ممنون از نظر شما ، این سوالی که ذکر کردید در یک پست دیگر قرار خواهم داد.

Answer 1

با فرض $f(x) =x^2 +3x-2$ معادله به صورت زیر تبدیل می شود $$f(f(x)) =x \Rightarrow f=f^{-1}\quad (1)$$ بنابراین مقادیر xی که تساوی (1) بر قرار است روی نیمساز ناحیه اول و سوم هم قرار دارد در نتیجه $$f(x) =x \Rightarrow x^2 +2x-2=0 \Rightarrow x=-1 \pm \sqrt{3} $$ برای بدست آوردن بقیه ریشه ها با توجه به معادله درجه 2 بدست آمده، معادله درجه 4 به حاصل ضرب دو تا چندجمله ای درجه2 تجزیه می کنیم $$(x^2 +2x-2)(x^2 +4x+2)=0 $$ حال با حل معادله درجه دوم جدید دو ریشه دیگر آن بدست می آید.

Comments

amir7788@ با رسم نمودار چهار ریشه دیده می شود. از طرفی شما $f(x)$  و $f(f(x))$ هردو را مساوی $x$ قرار داده اید!
استنباط بنده این است که اگر تابعی با خودش در ترکیب،  $x$ بشود تابع معکوسش خودش خواهد بودمانند $ \frac{1}{x} $ یا $-x$
اما سوال اینجا معنایش این نیست بلکه یک معادله است

---

از لحاظ تابع حق با شماست اما برای حل معادله، نقطه ای از تابع مد نظر است بنابراین با این شیوه می توان مسئله را حل کرد.

---

با سلام
به خوبی به نکته‌ ای که در سوال بود اشاره کردید.
درود بر شما

Answer 2

$(x^{2}+3x-2)^{2}+3(x^{2}+3x-2)-2-x=0 \Rightarrow \ x^{4}+6x^{3}+8x^{2}-4x-4=0
\Rightarrow \ x^{4}+x^{2}(6x)+(2x-2)(4x+2)=0$

از اتحاد جمله مشترک برای تجزیه استفاده میکنیم:

$(x^{2}+(2x-2))(x^{2}+(4x+2))=0$

با حل هر یک از پرانتزها به راحتی ریشه ها بدست می آیند.

Comments

روش خوبیه ، سپاس از شما