به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
328 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط A-math-lover (777 امتیاز)

گزاره‌های زیر را در نظر بگیرید:

  • شاه فرانسه کچل است.

  • در ماشینم جسدی را پیدا کردم.

می‌دانیم که فرانسه در حال حاضر شاه ندارد، پس گزارۀ اول راجع‌به چیزی صحبت می‌کند که وجود ندارد. پس چه ارزشی را باید برای آن تعیین کرد؟ آیا اصلاً معنایی دارد که مثلاً بگوئیم درست است یا نادرست؟

فرض کنید من ماشین ندارم. پس گزارۀ دوم نیز راجع‌به چیزی صحبت می‌کند که وجود ندارد. چه ارزشی را باید برای آن تعیین کرد؟

چیزی که به ذهنم می‌رسد این است که اگر بتوانیم به‌شکل زیر گزاره‌های فوق را به‌صورت شرطی بنویسیم، می‌توان برای آن‌ها تعیین ارزش کرد.

  • اگر فرانسه شاه داشته باشد، آنگاه شاه فرانسه کچل است.

  • اگر ماشین داشته باشم، آنگاه در ماشینم جسدی را پیدا می‌کنم.

در هر دو گزارۀ شرطی، مقدم نادرست است. پس بر هر چیزی می‌تواند دلالت داشته باشد و در واقع ارزش گزاره به انتفای مقدم درست است. اما آیا این دو گزارۀ شرطی با دو گزارۀ غیر شرطی‌ای که اول داشتیم هم‌ارز هستند؟ اگر چنین است، که خب دو گزاره‌ای که اول داشتیم نیز درست هستند. اما در غیر این‌صورت، دو گزاره‌ای که اول داشتیم چگونه تعیین ارزش می‌شوند؟

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
انتخاب شده توسط A-math-lover
 
بهترین پاسخ

اگر می‌گفتید «اگر فرانسه الآن شاه می‌داشت، شاهش مانند لوئی چهاردهم حمام نمی‌رفت» یا می‌گفتید «با فرض اینکه الآن فرانسه پادشاهی باشد، پادشاهش مانند لوئی چهاردم حمام نمی‌رفت.» آنگاه بدون هیچ دادهٔ بیشتری می‌توانستید فرض کنید «فرانسه الآن شاه دارد» را $p$ و «شاه فرانسه مانند لوئی چهاردهم حمام را دوست ندارد» را $q$ بگیرید و بگوئید این جمله یعنی $p\Longrightarrow q$ و در زمانی که فرانسه شاه ندارد، این گزاره را بنا به انتفای مقدم درست بگیرید.

اما اگر این گزاره را در زمانی که فرانسه شاه دارد در نظر بگیرید آنگاه وابسته به شاه آن زمان خواهد شد. و معمولا وقتی نظری این چنینی فردی می‌دهد، فقط منظورش یک $p\Longrightarrow q$ نیست بلکه اینطوری است که «هر کسی که شاه فرانسه بشود، حتما مانند لوئی چهاردهم حمام‌نادوست خواهدبود». دقت کنید که زبان و ادبیات فراتر از یک نظام سخت تک‌معنایی و دقیق مانند ریاضی است، شما از گفتن یک جملهٔ یکسان می‌توانید منظورهای خیلی متفاوت و نامرتبطی در موقعیت‌های متفاوتی داشته‌باشید. بنابراین «اگر فرانسه شاه داشت، آنگاه مانند لوئی چهاردهم حمام نمی‌رفت» به ریاضی اینطوری نوشته می‌شود که مجموعهٔ تمام افراد ممکنی که می‌توانند شاه فرانسه باشند را با $A$ نشان دهیم و فرد خاصی مثلا $a\in A$ را شاه فرانسه باشد را با $p(a)$ و این فرد حمام‌نادوست باشد را با $q(a)$ نمایش دهیم، آنگاه نظر ادعاشده به شکل زیر نمایش داده‌ می‌شود.

$$\forall a\in A\;\colon\;p(a)\Longrightarrow q(a)$$

که اگر یک عضو از $A$ باشد که شاه‌شدن برایش حمام را نامحبوب نمی‌کند، آنگاه این گزاره نقض می‌شود. پس درستی این گزاره به اینکه مجموعهٔ $A$ را چه افرادی بگیرید وابسته است و همینطوری یک ضرب با گفتنِ «بنا به انتفای مقدم» بدون هیچ دلیل و توضیح بیشتری ثابت نمی‌شود و اینکه افرادِ داخل این مجموعه الآن شاهِ فرانسه نیستند دلیلِ کافی نیست.

همینطور که دیدید این خیلی با گزارهٔ سادهٔ ریاضیِ «اگر چیزی عضو مجموعهٔ تهی باشد، آنگاه آن چیز تک‌عضوی است» فرق دارد، تهی، تک‌عضوی، عضو، مفهوم‌هایی با معنای مشخص و یکتا، و گزارهٔ «عضوِ تهی بودن» و «تک‌عضوی بودن» دوباره معنای یکتا و در نهایت «اگر چیزی عضو مجموعهٔ تهی باشد، آنگاه آن چیز تک‌عضوی است» معنای یک‌تایی دارد.

پس اگر منظورتان از «رئیسی را امروز دیدم و در جواب سلام به من گفت ناهار خوردی؟» این است که

اگر «امروز رئیسی را دیده باشم» درست باشد، آنگاه «در جواب سلام به من گفت ناهار خوردی؟» نیز درست است.

بله، بنا به انتفای مقدم جمله‌تان درست است. ولی اگر من همین جمله را به شما می‌گفتم، شما واقعا این چیزی که در بالا نوشتم را برداشت می‌کردید؟ خیر، چیزی که برداشت می‌کردید منظور پائین است.

«امروز رئیسی را دیدم» و «به رئیسی سلام کردم» و «رئیسی بعد از شنیدن سلام من، به من گفت ناهار خوردی؟».

پس «بنا به انتفای مقدم» اینجا کاربردی ندارد، چرا؟ چون جملهٔ شما یک گزارهٔ شرطی نیست! جملهٔ شما یک «وَ» از چند گزارهٔ خبری است. و «وَ»یِ چند گزاره زمانی درست است که تک‌تکِ آنها درست باشد. پس از اینکه قسمت ابتدای جمله نادرست است، برخلافِ چیزی که در متنِ پرسش‌تان انتظار داشتید، کلِ جمله نادرست می‌شود نه اینکه با انتفای مقدم درست شمرده شود.

اکنون باید برایتان روشن باشد که چرا جملهٔ «شاه فرانسه کچل است» و «در ماشینم یک جنازه پیدا کردم» گزاره‌هایی اشتباه هستند و «انتفای مقدم» در بررسیِ ارزشی‌شان نقشی ندارد.

توسط A-math-lover (777 امتیاز)
+2
@AmirHosein تشکر فراوان از استاد گرامی. البته بنده این پرسش را در math.stackexchange نیز پرسیدم که پاسخی که یکی از کاربران دادند نیز تقریباً مشابه بود و اگر مایل بودید می‌تواند آن را در این لینک ملاحظه کنید:

https://math.stackexchange.com/questions/4615401
+1 امتیاز
توسط

«پادشاه کنونی فرانسه تاس است.»

این جمله ممکن است درست یا نادرست به‌نظر برسد یا هیچ‌کدام. اما اگر نادرست باشد، آیا بدین معناست که پادشاه کنونی فرانسه تاس نیست؟ البته اگر نه درست باشد و نه نادرست، بدین معناست که این جمله ابداً هیچ‌گونه ادعایی را مطرح نکرده‌است. به عبارت ساده‌تر، هیچ‌چیزی در مورد این جهان نگفته‌است.

برتراند راسل دریافت که این جمله عملاً ترکیبی از سه ادعاست:

  1. پادشاه کنونی فرانسه وجود دارد.

  2. دقیقاً یک پادشاه کنونی فرانسه وجود دارد.

  3. پادشاه کنونی فرانسه تاس است.

ترکیب این ادعاها زمانی می‌تواند صادق باشد که هر سه ادعا صادق باشند. می‌دانیم که شرط اول نادرست است؛ پس ترکیب ادعاها هم نادرست است. اما این بدین معنا نیست که عکس این ادعا درست است، بدین صورت می‌توان آن را تحلیل کرد:

  1. پادشاه کنونی فرانسه وجود دارد.

  2. دقیقاً یک پادشاه کنونی فرانسه وجود دارد.

  3. پادشاه کنونی فرانسه تاس نیست.

و مجموعۀ این جملات هم آشکارا نادرست است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...