به چه دلیل نمیشود صورت و مخرج یک کسر را به علاوه یا منهای یک عدد کرد؟

Question

سلام وقت بخیر،دوستان به جه دلیل صورت و مخرج کسر را نمی‌توان به علاوه یا منهای یک عدد کرد؟ ولی می‌شود صورت و مخرج یک کسر را تقسیم یا ضرب در یک عدد کرد؟

Answer 1

$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad=bc$

حالا اگر $x$ عددی غیر صفر باشد:

$x(ab)=x(ab) \Rightarrow a(xb)=b(xa) \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{xa}{xb} $

حالا برای جمع و تفریق:

$4=2(3-1) \neq 3(2-1) \Rightarrow \frac{2}{3} \neq \frac{2-1}{3-1},8=2(3+1) \neq 3(2+1)=9 \Rightarrow \frac{2}{3} \neq \frac{2+1}{3+1} $

در واقع اگر روی $N \times (N-0)$ تعریف کنیم:

$(a,b) \simeq (c,d) \Leftrightarrow ad=bc$

این رابطه هم ارزی است و در واقع $ \frac{a}{b} =[(a,b)]$ که $[(a,b)]$ کلاس هم ارزی $(a,b)$ است.

$ \Box $

Answer 2

دلیل این تفاوت در مفهوم بنیادی کسر و نحوه عملکرد اعمال ریاضی بر روی آن نهفته است.

چرا جمع و تفریق صورت و مخرج مجاز نیست؟

تصور کنید یک کسر دارید، مثلاً $\frac{1}{2}$. این کسر به این معناست که از دو قسمت مساوی، یک قسمت را در اختیار دارید.

• اگر به صورت 1 واحد اضافه کنیم: کسر تبدیل می‌شود به $\frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1$. شما از نصف به کل رسیده‌اید.
• اگر به مخرج 1 واحد اضافه کنیم: کسر تبدیل می‌شود به $\frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$. شما الان یک قسمت از سه قسمت مساوی را دارید، که کوچکتر از حالت اول است.

همانطور که می‌بینید، اضافه کردن یک عدد ثابت به صورت یا مخرج، نسبت بین صورت و مخرج را به طور غیرقابل پیش‌بینی تغییر می‌دهد. شما در واقع در حال تغییر دادن تعداد قسمت‌های در دسترس (صورت) یا تعداد کل قسمت‌ها (مخرج) به صورت مجزا هستید، بدون اینکه تغییری متناسب در قسمت دیگر ایجاد کنید.

چرا ضرب و تقسیم صورت و مخرج مجاز است؟

حالا دوباره کسر $\frac{1}{2}$ را در نظر بگیرید.

• اگر صورت و مخرج را در 2 ضرب کنیم: کسر تبدیل می‌شود به $\frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}$. شما الان دو قسمت از چهار قسمت مساوی را دارید. به لحاظ بصری، شما همان مقدار را دارید، فقط تعداد قسمت‌ها و اندازه‌ی هر قسمت تغییر کرده است. انگار پیتزایی که نصف آن را داشتید را به جای دو قسمت به چهار قسمت مساوی تقسیم کرده‌اند و شما دو قسمت از آن را دارید.
• اگر صورت و مخرج را بر 2 تقسیم کنیم: کسر تبدیل می‌شود به $\frac{1 \div 2}{2 \div 2} = \frac{0.5}{1}$. این هم باز همان مفهوم نصف را نشان می‌دهد، فقط با اعداد اعشاری بیان شده است.

وقتی صورت و مخرج را در یک عدد غیر صفر ضرب یا بر آن تقسیم می‌کنیم، در واقع مقدار کسر را ثابت نگه می‌داریم، اما ظاهر آن را تغییر می‌دهیم. این عمل معادل ضرب کسر در $\frac{n}{n}$ (که برابر با 1 است) یا تقسیم بر $\frac{n}{n}$ است. ضرب یا تقسیم در 1 تغییری در مقدار ایجاد نمی‌کند.

خلاصه تفاوت:

• جمع و تفریق: تغییر مستقل صورت یا مخرج، مقدار کسر را تغییر می‌دهد.
• ضرب و تقسیم: تغییر متناسب صورت و مخرج، مقدار کسر را ثابت نگه می‌دارد و فقط شکل آن را تغییر می‌دهد.

مثال ملموس‌تر:

فرض کنید یک کیک را به 4 قسمت مساوی تقسیم کرده‌اید و شما 2 قسمت آن را دارید ($\frac{2}{4}$).

• اضافه کردن به صورت: اگر یک قسمت دیگر کیک به شما بدهند (اضافه کردن 1 به صورت)، شما الان 3 قسمت دارید ($\frac{3}{4}$). مقدار شما بیشتر شده است.
• اضافه کردن به مخرج: اگر تعداد کل قسمت‌های کیک را بیشتر کنند و آن را به 5 قسمت تقسیم کنند (اضافه کردن 1 به مخرج)، و شما همچنان همان 2 قسمت قبلی را داشته باشید ($\frac{2}{5}$)، مقدار شما کمتر شده است.
• ضرب در یک عدد: اگر تعداد قسمت‌های کیک و تعداد قسمت‌هایی که شما دارید را دو برابر کنند، شما الان 4 قسمت از 8 قسمت را دارید ($\frac{2 \times 2}{4 \times 2} = \frac{4}{8}$). این مقدار همان نصف کیک است.

---

حالا می‌خواهیم به صورت کلی و با استفاده از جبر این موضوع را اثبات کنیم.

اثبات برای جمع و تفریق:

فرض کنید یک کسر دلخواه داریم: $\frac{a}{b}$ که در آن $b \neq 0$.

حالا فرض کنید عدد ثابتی مثل $c$ را به صورت و مخرج این کسر اضافه می‌کنیم: $\frac{a+c}{b+c}$.

برای اینکه نشان دهیم این کسر جدید با کسر اولیه برابر نیست (در حالت کلی)، فرض می‌کنیم که برابر باشند و به تناقض برسیم:

$\frac{a+c}{b+c} = \frac{a}{b}$

حالا طرفین را در $(b+c)b$ ضرب می‌کنیم تا مخرج‌ها حذف شوند:

$b(a+c) = a(b+c)$

با باز کردن پرانتزها داریم:

$ab + bc = ab + ac$

با کم کردن $ab$ از هر دو طرف معادله، می‌رسیم به:

$bc = ac$

حالا دو حالت داریم:

• حالت اول: اگر $c \neq 0$ باشد، می‌توانیم طرفین را بر $c$ تقسیم کنیم و به $b = a$ می‌رسیم. این یعنی کسر اولیه ما باید به شکل $\frac{a}{a}$ بوده باشد که مقدار آن برابر با 1 است. در این حالت خاص، اگر $c$ را به صورت و مخرج اضافه کنیم، کسر جدید $\frac{a+c}{a+c}$ خواهد بود که باز هم برابر با 1 است. بنابراین، برابری فقط در صورتی برقرار است که کسر اولیه برابر با 1 باشد و یا $c=0$ باشد که در آن صورت تغییری ایجاد نمی‌شود.

• حالت دوم: اگر $c = 0$ باشد، آنگاه $b \times 0 = a \times 0$ که $0 = 0$ می‌شود. این حالت نشان می‌دهد که اگر چیزی اضافه یا کم نکنیم، کسر تغییری نمی‌کند.

نتیجه‌گیری برای جمع و تفریق: در حالت کلی، وقتی یک عدد ثابت غیر صفر را به صورت و مخرج یک کسر اضافه یا کم می‌کنیم، مقدار کسر تغییر می‌کند. فقط در صورتی مقدار کسر ثابت می‌ماند که کسر اولیه برابر با 1 باشد.

اثبات برای ضرب و تقسیم:

همان کسر اولیه را در نظر بگیرید: $\frac{a}{b}$ که در آن $b \neq 0$.

حالا فرض کنید صورت و مخرج را در یک عدد ثابت غیر صفر مثل $k$ ضرب می‌کنیم: $\frac{a \times k}{b \times k}$.

می‌توانیم این کسر جدید را به صورت زیر ساده کنیم:

$\frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a}{b} \times \frac{k}{k}$

از آنجایی که $k \neq 0$، داریم $\frac{k}{k} = 1$. پس:

$\frac{a}{b} \times 1 = \frac{a}{b}$

بنابراین، ضرب صورت و مخرج در یک عدد ثابت غیر صفر، مقدار کسر را تغییر نمی‌دهد.

حالا فرض کنید صورت و مخرج را بر یک عدد ثابت غیر صفر مثل $m$ تقسیم می‌کنیم (که معادل ضرب در $\frac{1}{m}$ است): $\frac{a \div m}{b \div m}$.

این عبارت را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$\frac{\frac{a}{m}}{\frac{b}{m}}$

برای ساده‌سازی، صورت را در معکوس مخرج ضرب می‌کنیم:

$\frac{a}{m} \times \frac{m}{b} = \frac{a \times m}{m \times b}$

با حذف عامل مشترک $m$ (چون $m \neq 0$) می‌رسیم به:

$\frac{a}{b}$

نتیجه‌گیری برای ضرب و تقسیم: ضرب یا تقسیم صورت و مخرج یک کسر در یک عدد ثابت غیر صفر، مقدار کسر را تغییر نمی‌دهد.

به طور خلاصه:

• جمع و تفریق: عمل جمع و تفریق یک عدد ثابت به صورت و مخرج، رابطه نسبی بین صورت و مخرج را تغییر می‌دهد و در نتیجه مقدار کسر را تغییر می‌دهد (مگر در موارد خاص).
• ضرب و تقسیم: عمل ضرب و تقسیم صورت و مخرج در یک عدد ثابت، نسبت بین صورت و مخرج را به طور متناسب تغییر می‌دهد، به طوری که نسبت کلی (مقدار کسر) ثابت باقی می‌ماند. این عمل در واقع تغییر در "مقیاس" کسر است، نه تغییر در "ارزش" آن.