به چه دلیل نمیشود صورت و مخرج یک کسر را به علاوه یا منهای یک عدد کرد؟

Question

سلام وقت بخیر،دوستان به جه دلیل صورت و مخرج کسر را نمی‌توان به علاوه یا منهای یک عدد کرد؟ ولی می‌شود صورت و مخرج یک کسر را تقسیم یا ضرب در یک عدد کرد؟

Answer 1

$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad=bc$

حالا اگر $x$ عددی غیر صفر باشد:

$x(ab)=x(ab) \Rightarrow a(xb)=b(xa) \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{xa}{xb} $

حالا برای جمع و تفریق:

$4=2(3-1) \neq 3(2-1) \Rightarrow \frac{2}{3} \neq \frac{2-1}{3-1},8=2(3+1) \neq 3(2+1)=9 \Rightarrow \frac{2}{3} \neq \frac{2+1}{3+1} $

در واقع اگر روی $N \times (N-0)$ تعریف کنیم:

$(a,b) \simeq (c,d) \Leftrightarrow ad=bc$

این رابطه هم ارزی است و در واقع $ \frac{a}{b} =[(a,b)]$ که $[(a,b)]$ کلاس هم ارزی $(a,b)$ است.

$ \Box $