سور انحصاری را چگونه میتوان تنها با استفاده از سورهای عمومی و وجودی بازنویسی کرد؟

Question

سور انحصاری، که نماد آن $\exists!$ یا $\exists_{ = 1}$ می‌باشد، نوعی سور است که فقط زمانی درست است که مجموعۀ جواب گزاره‌نمایش، یک و تنها یک عضو داشته باشد. یعنی مجموعۀ جواب گزاره‌نمایش تک عضوی باشد و در غیر این‌صورت، نادرست است. مثلاً گزارۀ زیر:

$$\exists!n\in\mathbb{N} : n - 2 = 4$$

به این شکل می‌تواند خوانده شود: «یک و تنها یک عدد طبیعیِ $n$ی وجود دارد که در برابری $n - 2 = 4$، صدق می‌کند». که گزاره‌ای درست است؛ چون گزاره‌نمایش تنها به‌ازای $n = 6$، که عددی طبیعی است، به گزاره‌ای درست تبدیل می‌شود. در واقع مجموعۀ جواب گزاره‌نمایش ($\{6\}$) تک عضوی است.

اکنون پرسش اصلی اینجاست که این نوع از سور را چگونه می‌توان تنها با استفاده از سورهای عمومی ($\forall$) و وجودی ($\exists$) بازنویسی کرد؟ یعنی در حالت کلی، گزارۀ زیر:

$$\exists!x : P(x)$$

هم‌ارزِ منطقی چه گزاره‌ای متشکل از سورهای وجودی و عمومی است؟

چیزی که به ذهنم می‌رسد این است که ابتدا می‌توانیم سور انحصاری را طور دیگری تعبیر کنیم و بگوئیم که گزارۀ $\exists!x : P(x)$ به این معناست که حداقل یک $x$ی وجودی دارد که $P(x)$، اما از طرفی هیچ $y$ی وجود ندارد که $P(y)$ و $x\not = y$:

$$\exists!x : P(x) \Leftrightarrow \big(\exists x : P(x)\big)\land \neg\big(\exists y : P(y) \land x\not = y\big)$$

این به‌نظر درست است؛ اما آیا می‌توانیم هم‌ارزِ گزارۀ سور انحصاری را تنها با استفاده از خود $x$ بنویسیم و از نماد دیگری مثل $y$ استفاده نکنیم؟

Answer 1

یک نمایشِ دیگر به شکل زیر است.

$$\exists!x\in U\;\colon\;P(x)\quad\equiv\quad|\lbrace x\in U\mid P(x)\rbrace|=1$$

که منظور از $|A|$، عدد اصلیِ مجموعهٔ $A$ است. در این نمایش از یک نماد (توجه کنید که $x$ و یا $y$ای که به کار برده‌اید الزاما عدد نیستند!) استفاده شده‌است و البته از نمادِ سورها هم استفاده‌ای نشده‌است.