در سهمی به معادلهٔ $y = x^2 - 4x + a + 1$، اختلاف صفرهای تابع برابر ۲ است. عرض از مبدأ سهمی چه عددی است؟

Question

در سهمی به معادلهٔ $\color{black}{y = x^2 - 4x + a + 1}$، اختلاف صفرهای تابع برابر ۲ است. عرض از مبدأ سهمی کدام است؟

1) -2

2) 2

3) -3

4) 3

تلاش انجام‌شده:

طبق فرض سؤال، «اختلاف صفرهای تابع برابر ۲ است». پس اگر صفرهای تابع را $x_1$ و $x_2$ در نظر بگیریم و $x_1 > x_2$ باشد، داریم: $x_1 - x_2 = 2$. عرض از مبدأ سهمی، یعنی مقدار $y$، وقتی که $x = 0$ باشد. پس $x = 0$ را در معادلهٔ سهمی جایگذاری می‌کنیم.

$y = (0)^2 - 4(0) + a + 1 \Rightarrow y = a + 1$

همچنین صفرهای تابع $x_1$ و $x_2$ هستند، پس داریم:

$x_1^2 - 4x_1 + a + 1 = 0$

$x_2^2 - 4x_2 + a + 1 = 0$

از آنجایی که $x_1 - x_2 = 2$، در نتیجه $x_1 = 2 + x_2$. بنابراین داریم:

$(2 + x_2)^2 - 4(2 + x_2) + a + 1 = 0$

$x_2^2 - 4x_2 + a + 1 = 0$

طرفین این دو تساوی را از همدیگر کم می‌کنیم.

$\big((2 + x_2)^2 - 4(2 + x_2) + a + 1\big) - \big(x_2^2 - 4x_2 + a + 1\big) = 0$

که پس از اینکار معادله‌ای از درجهٔ اول برحسب $x_2$ به‌دست می‌آید که با حل آن $x_2 = 1$ به‌دست می‌آید. این مقدار را در $x_2^2 - 4x_2 + a + 1 = 0$ جایگذاری می‌کنیم تا $a + 1$ یا همان عرض از مبدأ را به‌دست آوریم.

$(1)^2 - 4(1) + a + 1 = 0 \Rightarrow 1 - 4 + a + 1 = 0 \Rightarrow \boxed{a + 1 = 3}$

پس عرض از مبدأ برابر ۳ می‌باشد و گزینهٔ ۴ صحیح است.

به‌نظر خودم که راه‌حلم درست است؛ اما آیا راه‌حل کوتاه‌تر یا سریع‌تری هم برای این سؤال وجود دارد؟

Answer 1

اگر $\alpha$ و $\beta$ ریشه‌های معادله باشند و فرض بگیریم $\alpha >\beta$، و تعریف کنیم $A=\alpha-\beta$ آنگاه داریم

$$A=\alpha-\beta\Rightarrow A^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=16-4(a+1)=12-4a$$

توجه کنید که از این نکته استفاده شده است که حاصلضرب دو ریشه برابر با جمله ثابت تقسیم بر ضریبِ $x^2$ است.

در نتیجه $A=\sqrt{12-4a}=2\Rightarrow a=2$ و لذا عرض از مبدأ که جمله‌ثابتِ معادله‌تان است برابر می‌شود با $\color{red}{a+1=3}$.

Answer 2

اگر $\alpha$ و $\beta$ ریشه‌های معادله درجه دوم به شکل $ax^2+bx+c=0$ باشند، داریم

$$|\alpha-\beta|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}$$

اکنون برای پرسش شما با جایگذاریِ $a=1$ و $b=-4$ و $c=a+1$ (توجه کنید که در دو خط بالا منظور از $a$ ضریبِ $x^2$ بود و نه پارامترِ $a$ که در متن پرسش آمده) و $|\alpha-\beta|=2$ رابطهٔ بالا به شکلِ زیر درمی‌آید.

$$\sqrt{16-4(a+1)}=2$$

حال طرفین را به توان دو رسانده داریم.

$$16-4(a+1)=4$$

با فاکتورگیری و تقسیم طرفین بر $4$ خواهیم داشت $4-(a+1)=1$ و به دنبالش $a=2$. اکنون برای یافتنِ عرض از مبدأ کافی است به جای $x$ صفر بگذاریم و مقدارِ $y$ را بیابیم که می‌شود $y=3$.

Answer 3

برای پیدا کردن اختلاف صفرهای تابع، ابتدا باید آن را به شکل مربع کامل بنویسیم:

$y = x^2 - 4x + a + 1$ $y = (x^2 - 4x + 4) - 3 + a + 1$ $y = (x - 2)^2 + a - 2$

حال با توجه به اینکه اختلاف صفرهای تابع برابر با ۲ است، داریم:

$(x_2 - 2)^2 + a - 2 - [(x_1 - 2)^2 + a - 2] = 2$

$(x_2 - 2)^2 - (x_1 - 2)^2 = 2$

$[(x_2 - 2) + (x_1 - 2)][(x_2 - 2) - (x_1 - 2)] = 2$

$(x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 4) = 2$

از طرفی، داریم:

$x_2 - x_1 = 2$

با جایگذاری این مقدار در رابطهٔ قبلی، داریم:

$(2)(x_1 + x_2 - 4) = 2$

$x_1 + x_2 = 6$

حال برای پیدا کردن عرض از مبدأ سهمی، باید محور $x$ را به دو صفر تقسیم کنیم. با توجه به اینکه محور x در مبدأ سهمی ($y = 0$) عبور دارد، داریم:

$x_1 + x_2 = 0$

پس:

$x_1 = -x_2$

و با جایگذاری آن در رابطهٔ قبلی، داریم:

$-x_2 + x_2 = 6$

بنابراین:

$x_2 = 3 , x_1 = -3$

عرض از مبدأ سهمی برابر با فاصلهٔ این دو صفر از مبدأ است، یعنی:

عرض از مبدأ = $|3 - (-3)|/2 = 3$