Question

درکیسهٔ «آ»، 1 مهره سفید، 3 مهره قرمز و درکیسهٔ «بی»، 2 مهره سفید و 1 مهره قرمز و در کیسهٔ «سی» تعدادی مهره سفید وجود دارد. از هرکیسه به ترتیب 1، 2 و 1 مهره بیرون می آوریم و درکیسه خالی D قرار می دهیم. سپس از D مهره ای خارح می کنیم. اگر این مهره سفید باشد، احتمال آن که مربوط به کیسهٔ A باشد؟

اینجا برای حساب کردن حالات کل سفید بودن مهره، کیسه هارو باید 3 تا حساب کنیم یا 4تا؟ ازونجایی که مهره فقط میتونه مربوط به A یا B یا C باشه، من خودم 3 تا حساب کردم و جواب آخر سه بیست و سوم دراومد، درسته؟

Answer 1

برای پاسخ به این سوال، از قانون بیز استفاده می‌کنیم. بنابراین، احتمال مربوط به کیسهٔ A به شرط داشتن مهرهٔ سفید در D، برابر است با:

P(کیسهٔ A | سفید در D) = P(سفید در D | کیسهٔ A) × P(کیسهٔ A) / P(سفید در D)

احتمال داشتن سفید در D به شرط داشتن مهرهٔ سفید در کیسهٔ A و درکیسهٔ سی، برابر با حاصلضرب احتمال داشتن هر یک از آنها و احتمال داشتن قرمز در کیسهٔ بی است:

P(سفید در D | کیسهٔ A) = (1/4) × (1/2) × (تعداد مهره‌های سفید در کیسهٔ A / تعداد کل مهره‌های در کیسه‌ها)

احتمال داشتن کیسهٔ A، برابر با 1/3 است. احتمال داشتن سفید در D، برابر با مجموع احتمال داشتن سفید در D به شرط داشتن آن در هر یک از کیسه‌ها است:

P(سفید در D) = P(سفید در D | کیسهٔ A) × P(کیسهٔ A) + P(سفید در D | کیسهٔ بی) × P(کیسهٔ بی) + P(سفید در D | کیسهٔ سی) × P(کیسهٔ سی)

با توجه به اطلاعات داده شده، تعداد مهره‌های سفید در کیسهٔ A برابر با 1 و تعداد کل مهره‌های در کیسه‌ها برابر با 6 است. بنابراین:

P(سفید در D | کیسهٔ A) = (1/4) × (1/2) × (1/6) = 1/48

P(کیسهٔ A | سفید در D) = (1/48) × (1/3) / P(سفید در D)

با محاسبهٔ P(سفید در D)، می‌توان احتمال مورد نظر را محاسبه کرد. با توجه به اطلاعات داده شده، تعداد کل مهره‌های در کیسه‌ها برابر با 6 است و بنابراین:

P(سفید در D) = P(سفید در D | کیسهٔ A) × P(کیسهٔ A) + P(سفید در D | کیسهٔ بی) × P(کیسهٔ بی) + P(سفید در D | کیسهٔ سی) × P(کیسهٔ سی) = (1/48) × (1/3) + (2/6) × (1/3) + (تعداد مهره‌های سفید در کیسهٔ سی / تعداد کل مهره‌های در کیسه‌ها) × (1/3)

با توجه به اطلاعات داده شده، تعداد مهره‌های سفید در کیسهٔ سی نامشخص است. بنابراین، نمی‌توان احتمال مورد نظر را محاسبه کرد. در تمام موارد نشانه / علامت خط کسری است