آیا می توان هر عملگر منطقی ای را در منطق ریاضی فقط با استفاده از عملگرهای ترکیب عطفی، فصلی و نقیض بازنویسی کرد؟

Question

فرض کنید که عملگر $\leadsto$ بین دو گزارهٔ $p$ و $q$ را به‌شکل زیر تعریف می‌کنیم:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline p & q & p \leadsto q \\\hline \text{T} & \text{T} & \text{F}\\ \hline \text{T} & \text{F} & \text{T}\\ \hline \text{F} & \text{T} & \text{F}\\ \hline \text{F} & \text{F} & \text{T}\\ \hline \end{array}$$

اکنون فرض کنید که می‌خواهیم هم‌ارزِ منطقیِ گزارهٔ $p \leadsto q$ را تنها با استفاده از عملگرهای ترکیب عطفی، فصلی و نقیض بازنویسی کنیم. چگونه می‌توان این کار را انجام داد؟ آیا شدنی است؟ در حالت کلی، آیا می‌توان هر عملگر منطقی‌ای را در منطق ریاضی (مثل عملگری که خودمان به شکلی که در بالا دیدید به‌صورت دلخواه تعریف کردیم) فقط با استفاده از عملگرهای ترکیب عطفی، فصلی و نقیض بازنویسی کرد؟

Answer 1

پاسخ مثبت است. نگاه کنید که گزاره چه‌زمان یا زمان‌هایی درست است. در گزارهٔ $p \leadsto q$، زمان‌هایی که «$p$ درست و $q$ نادرست یا هر دوی $p$ و $q$ نادرست باشند، گزاره درست است». خب منتظر چه هستید، همین عبارتی که نوشتیم را به زبان منطق ریاضی ترجمه کنید! اگر این‌کار را کنید، به گزارهٔ زیر می‌رسید:

$$(p\wedge\neg q)\vee(\neg p\wedge\neg q)$$

پس هم‌ارزِ منطقی گزاره‌ای که تعریف کرده‌اید، همان گزارهٔ بالا می‌باشد که البته هم‌ارز با $\neg q$ است. این روش برای هر گزاره‌ای قابل اجراست؛ بنابراین در حالت کلی، می‌توان هر عملگر منطقی‌ای را در منطق ریاضی فقط با استفاده از عملگرهای ترکیب عطفی، فصلی و نقیض بازنویسی کرد. فقط دقت کنید که اگر گزارهٔ هیچ‌جا درست نبود، بدین معناست که یک تناقض است و همواره نادرست می‌باشد و به‌سادگی $p\wedge\neg p$ هم‌ارزش می‌باشد.

Answer 2

هر عملگر منطقی می‌تواند با استفاده از عملگرهای ترکیب عطفی، فصلی و نقیض بازنویسی شود. این روش با نام "تحلیل بول" شناخته می‌شود. به طور کلی، هر عملگر منطقی می‌تواند با استفاده از یکی از دو روش "تحلیل بول" یا "جبر بول" بازنویسی شود.

در جبر بول، از عبارات ریاضی و عملگرهای جبری برای تبدیل عبارات منطقی استفاده می‌شود. در حالی که در تحلیل بول، با استفاده از عملگرهای ترکیب عطفی، فصلی و نقیض، عبارات منطقی را بازنویسی می‌کنیم. به طور خلاصه، جبر بول از دیدگاه ریاضی است و تحلیل بول از دیدگاه منطق است.

Comments

دلیل امتیاز منفی چیست

---

@mahdiahmadileedari به‌نظر می‌رسد که در پاسخ‌تان از هوش مصنوعی ChatGPT کمک گرفته‌اید و باید بدانید که ChatGPT برخی اوقات درست پاسخ نمی‌دهد (به‌ویژه اگر به زبانی غیر از انگلیسی از آن سؤال بپرسید). علاوه بر این، پاسخ‌تان پاسخِ کاملی به پرسش من نیست. پرسش من این بود که «آیا می‌توان هر عملگر منطقی‌ای را در منطق ریاضی فقط با استفاده از عملگرهای ترکیب عطفی، فصلی و نقیض بازنویسی کرد؟» که اگر پاسخ مثبت است، باید کامل توضیح می‌دادید که این کار به چه شکلی انجام می‌شود. ولی شما فقط به‌صورت خیلی مختصر توضیح دادید و روش کاملش را توضیح ندادید. در کل سعی کنید که اگر در نوشتن مطلبی از ویکی‌پدیا یا ChatGPT یا ... کمک می‌گیرید، قبل از انتشار آن را بررسی کنید و از درستی آن مطمئن شوید.