تابعی که روی یک مجموعه یک بیک باشد وارون دارد.(یکی از حالتهای یک بیک بودن اکیدن صعودی یا اکیدن نزولی است ).
پس فقط در مورد تابعهای یک بیک میشه در مورد وارشون صحبت کرد.
اما این حکم که تابعهای اکیدن صعودی و تابعهای وارونپذیر افزایشی و وارونپذیر کاهشی اگر با وارونشان نقطه برخورد داشته باشند این نقطه روی خط $y=x$ است کاملن درسته.
تابعی را روی مجموعه $A$ افزایشی (کاهشی) گویند هرگاه برای هرعضو $A$ مانند $a$ داشته باشیم: $a \prec f(a) (a \succ f(a))$.
اثبات این احکام ساده است.
برای حالت افزایشی:
فرض کنید که$(x,y)$ یک نطقه برخورد تابع $f$ با وارونش $ f^{-1} $ باشد پس:
$y=f(x) = f^{-1} (x),x=f(y)= f^{-1} (x)$
$if x \prec y \Rightarrow y \prec f(y)=x $
$if y \prec x \Rightarrow x \prec f(x)=y$
که در هر دو حالت با فرض متناقض است لذا باید $y=x$.
برای توابع کاهشی هم اثبات مشابه است.برای توابع اکیدن صعودی هم اثبات ساده است.
اما حکم برای توابع معکوس پذیر نزولی درست نیست.تابع $f(x)=2-x$ را در نظر بگیرید که نزولی و لذا وارونش موجود و با خودش برابر است و لذا در هر نقطه حقیقی وارونش را قطع میکند و تعدادی ناشمارا نقاط تقاطع با وارونش دارد که روی خط $y=x$ نیست.مثلن: $ 2=f(0)= f^{-1}(0) (2,0)$.
