برای کدام تابع نقاط برخورد تابع با وارونش همواره روی خط y = x قرار دارد؟

Question

می دونم که این گزاره برای یک تابع اکیدا صعودی در صورتی که با وارونش برخورد داشته باشه صدق می کنه؛ اما برای مابقی تابع ها به خصوص یک تابع اکیدا نزولی چطور؟

Answer 1

اگر تابعی یک به یک باشد و دارای نقطه ثابت باشد خودش و وارونش در نقاطی با طول و عرض مساوی یکدیگر را قطع می کنند. مثلا: f(x)=- x^{3} -3x را در نظر بگیرید، مشتق آن همیشه منفی است پس اکیداً نزولی است. f'(x)=-3 x^{2} - 3 < 0 پس حتما یک به یک و در نتیجه معکوس پذیر است. از طرفی معادله زیر دارای جواب است. یعنی دارای نقطه ثابت است؛ f(x)=x => - x^{3} - 3x =x => x^{3}+4x=0 => x ( x^{2} +4)=0 => x=0
یعنی نقطه (0و0) تنها نقطه ثابت تابع است که خود تابع و معکوسش از آن نقطه می گذرند.

Answer 2

تابعی که روی یک مجموعه یک بیک باشد وارون دارد.(یکی از حالتهای یک بیک بودن اکیدن صعودی یا اکیدن نزولی است ). پس فقط در مورد تابعهای یک بیک میشه در مورد وارشون صحبت کرد. اما این حکم که تابعهای اکیدن صعودی و تابعهای وارونپذیر افزایشی و وارونپذیر کاهشی اگر با وارونشان نقطه برخورد داشته باشند این نقطه روی خط $y=x$ است کاملن درسته. تابعی را روی مجموعه $A$ افزایشی (کاهشی) گویند هرگاه برای هرعضو $A$ مانند $a$ داشته باشیم: $a \prec f(a) (a \succ f(a))$. اثبات این احکام ساده است. برای حالت افزایشی: فرض کنید که$(x,y)$ یک نطقه برخورد تابع $f$ با وارونش $ f^{-1} $ باشد پس: $y=f(x) = f^{-1} (x),x=f(y)= f^{-1} (x)$

$if x \prec y \Rightarrow y \prec f(y)=x $

$if y \prec x \Rightarrow x \prec f(x)=y$

که در هر دو حالت با فرض متناقض است لذا باید $y=x$. برای توابع کاهشی هم اثبات مشابه است.برای توابع اکیدن صعودی هم اثبات ساده است. اما حکم برای توابع معکوس پذیر نزولی درست نیست.تابع $f(x)=2-x$ را در نظر بگیرید که نزولی و لذا وارونش موجود و با خودش برابر است و لذا در هر نقطه حقیقی وارونش را قطع میکند و تعدادی ناشمارا نقاط تقاطع با وارونش دارد که روی خط $y=x$ نیست.مثلن: $ 2=f(0)= f^{-1}(0) (2,0)$.