برای کدام تابع نقاط برخورد تابع با وارونش همواره روی خط y = x قرار دارد؟

Question

می دونم که این گزاره برای یک تابع اکیدا صعودی در صورتی که با وارونش برخورد داشته باشه صدق می کنه؛ اما برای مابقی تابع ها به خصوص یک تابع اکیدا نزولی چطور؟

Answer 1

اگر تابعی یک به یک باشد و دارای نقطه ثابت باشد خودش و وارونش در نقاطی با طول و عرض مساوی یکدیگر را قطع می کنند. مثلا: f(x)=- x^{3} -3x را در نظر بگیرید، مشتق آن همیشه منفی است پس اکیداً نزولی است. f'(x)=-3 x^{2} - 3 < 0 پس حتما یک به یک و در نتیجه معکوس پذیر است. از طرفی معادله زیر دارای جواب است. یعنی دارای نقطه ثابت است؛ f(x)=x => - x^{3} - 3x =x => x^{3}+4x=0 => x ( x^{2} +4)=0 => x=0
یعنی نقطه (0و0) تنها نقطه ثابت تابع است که خود تابع و معکوسش از آن نقطه می گذرند.