آیا $ \frac{|u|u'}{u} = \frac{uu'}{|u|} $

Question

$$ \frac{uu'}{|u|}= | u |'$$

حال سوال من اين است كه آيااين برابري صحيح است يا خير با دليل؟$$ \frac{|u|u'}{u} = \frac{uu'}{|u|} $$

Answer 1

اگر $f(x)=|x|$ در اینصورت می دانیم که در $x=0$ مشتق ناپذیر است و برای $x\neq 0$ داریم: $$\begin{align}f'(x)&=(|x|)'\\ &=(\sqrt{x^2})'\\ &=((x^2)^{1/2})'\\ &=\frac 12(2x)(x^2)^\frac{-1}2\\ &=\frac{x}{\sqrt{x^2}}\\ &=\frac x{|x|}\end{align}$$

و بنابر قاعده زنجیری برای تابع $y=f(u)=|u|$ داریم: $$(f(u))'=(|u|)'=u'f'(u)=u'\frac u{|u|}$$

حال اگر بخواهید دو تابع $f(x)=\frac x{|x|}$ و $g(x)=\frac{|x|}x$ در اینصورت دامنه های هر دو برابر است با $\mathbb R\setminus\{0\}$ و همچنین $$f(x)=\frac{x}{|x|}=\begin{cases}\frac xx=1& x> 0\\ \frac x{-x}=-1& x< 0\end{cases}$$ و به همین ترتیب $g(x)=\begin{cases}1& x>0\\ -1& x< 0\end{cases}$

بنابراین $f(x)=g(x)$ . و لذا $$\frac{u}{|u|}=\frac{|u|}{u}$$

پس برابری ای که شما بیان کردید به نظر میرسه درست است.

Answer 2

از آنجایی که $ \frac{|x|}{x}= \frac{x}{|x|} $ به راحتی $u'$ از طرفین حذف شده و مسله اثبات میشود.