اول توجه شود که فاصله نقطه $(x_0,y_0)$ از خط $ax+by+c=0$ برابر است با $ \frac{ |ax_0+by_0+c | }{ \sqrt{a^2+b^2} } $.
دو خط موازی دارای شیب های برابرند.حالا فرض کنید که $y=ax+b$ و $y=ax+ b' $ دو خط موازی باشند
و $(x_1,ax_1+b)$ و $(x_2,ax_2+b)$ دو نقطه دلخواه از خط $y=ax+b$ باشند و $d_1$ و $d_2$ به ترتیب فاصله آنها از خط $y=ax+ b' $ باشد:
$d_1= \frac{ | ax_1-1(ax_1+b)+ b' | }{ \sqrt{a^2+(-1)^2} }= \frac{ |ax_1-ax_1-b+ b' | }{ \sqrt{a^2+1} }= \frac{ | b' -b| }{ \sqrt{a^2+1} } $
$d_2=\frac{ | ax_2-1(ax_2+b)+ b' | }{ \sqrt{a^2+(-1)^2} }=\frac{ | ax_2-ax_2-b+b' | }{ \sqrt{a^2+(-1)^2} }=\frac{ | b'-b | }{ \sqrt{a^2+1}}$
$d_1=d_2$
حالا اگر فاصله دو نقطه دلخواه از خط $y=ax+ b' $ را تا خط $y=ax+b$ به دست بیارید اثبات دقیقن همینه.
$ \Box $
