کسر مسلسلی چند مجهوله

Question

اگر

$ \frac{5}{9} =\frac{1}{x}+ \frac{1}{y+ \frac{1}{z} }$

باشد، حاصل $z^{3}+2y^{2} +3x^{2}$ را محاسبه کنید.

Answer 1

$ \frac{5}{9} = \frac{5x}{9x} = \frac{9+(5x-9)}{9x} = \frac{9}{9x} + \frac{5x-9}{9x} = \frac{1}{x} + \frac{5x-9}{9x}$

واضح است که $x \neq 1$ (چرا؟)

اگر $x \geq 2$ در کسر $\frac{5x-9}{9x}$ صورت از مخرج کوچکتر است (چرا؟).حالا توجه کنید که فقط در حالت $x=2$ صورت مخرج را می شمارد (چرا؟) بنابراین:

$\frac{5}{9} = \frac{1}{2} + \frac{1}{18} =\frac{1}{2} + \frac{1}{17+ \frac{1}{1} }$

$\Rightarrow z^3+2y^2+3x^2=1^3+2 \times 17^2+3 \times 1^2=1+289+3=293$

حالا اگر صورت مخرج را نشمارد می نویسیم:

$ \frac{5}{9} = \frac{1}{x} + \frac{1}{ \frac{9x}{5x-9} } \Rightarrow y+ \frac{1}{z} = \frac{9}{5x-9} $

از طرفی دیگر داریم:

$ \frac{5}{9} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y+ \frac{1}{z} } \Rightarrow (yz+1)(5x-9)=9xy \Rightarrow y+ \frac{1}{z} = \frac{9x(yz+1)}{9xy}= \frac{yz+1}{y} =z+ \frac{1}{y} $

$y-z= \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = \frac{-(z-x)}{yz} \Rightarrow (z-y)[1+ \frac{1}{yz}]=0 \Rightarrow y=z$(چرا؟)

$ \Rightarrow (y^2+1)(5x-9)=9xy \Rightarrow 9xy \geq 2y(5x-9)=10xy-18y \Rightarrow xy \leq18y \Rightarrow x \leq 18$

اگر با حوصله همه حالات را بررسی کنیم می بینیم که جوابها قابل قبول نیستند.

حالا کسر اول را طوری در نظر بگیرید که صورت مقسو علیه $9$ باشد:

$ \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{5}{9} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4+ \frac{1}{2} } $

$ \Rightarrow z^3+2y^2+3x^2=2^3+2 \times 4^2+3 \times 3^2=8+32+27=67$

$ \Box $