فرض کنید که $k>0$ و $ | x |>k$ پس بنابه تعریف قدرمطلق:
$ | x | =x \vee | x | =-x \Rightarrow x>k \vee -x>k \Rightarrow x>k \vee x<-k$
(نامساوی سمت راست برای اعداد منفی و نامساوی سمت چپ برای اعداد مثبت اتفاق می افتد).
حالا برای عکس:
$if x>k \Rightarrow x>k \wedge k>0 \Rightarrow x>0 \wedge x>k \Rightarrow | x | =x>k$
$if x<-k \Rightarrow -x>k \wedge k>0 \Rightarrow -x>k \wedge -x>0 \Rightarrow -x>k \wedge x<0$
$ \Rightarrow | x | =-x>k$
برای $k$ های منفی تساوی $ | x | >k$ برای هر عدد حقیقی $x$ برقرار است و :
$x>k \vee x<-k=(k, + \infty ) \cup (- \infty ,-k)=R$
حالا اگر $k=0$ آنگاه تساوی $ | x | >k=0$ برای هر عدد حقیقی غیر صفر برقرار است و:
$x>0 \vee x<-0=x>0 \vee x<0=(0,+ \infty) \cup (- \infty ,0)=R-0$
واین نشان میدهد که $k$ هر عدد حقیقی می تواند باشد.در کتاب حسابان حالت مثبت را جدا کرده که سوال برای سطح دبیرستان سنگین نباشد.
$ \Box $
