اثبات نامعادله های قدرمطلقی

Question

سلام وقت بخیر دوستان چگونه میتوانم اثبات های نامعادلات قدرمطلقی را پیدا کنم؟درکتاب درسی اشاره ای به این موضوع نشده If k>0 , |x|>k ---> x>k or x<-k

if k>0 ,|x| x>-k and x -k<x<k به چه دلیل k را همیشه یه عدد مثبت ناصفر فرض میکنیم و k نمی‌تواند منفی یا صفر باشد؟ اگر منفی یا صفر باشد چه حالتی پیش میاد؟

Answer 1

فرض کنید که $k>0$ و $ | x |>k$ پس بنابه تعریف قدرمطلق:

$ | x | =x \vee | x | =-x \Rightarrow x>k \vee -x>k \Rightarrow x>k \vee x< -k$

(نامساوی سمت راست برای اعداد منفی و نامساوی سمت چپ برای اعداد مثبت اتفاق می افتد).

حالا برای عکس:

$if x>k \Rightarrow x>k \wedge k>0 \Rightarrow x>0 \wedge x>k \Rightarrow | x | =x>k$

$if x< -k \Rightarrow -x>k \wedge k>0 \Rightarrow -x>k \wedge -x>0 \Rightarrow -x>k \wedge x< 0$

$ \Rightarrow | x | =-x>k$

برای $k$ های منفی تساوی $ | x | >k$ برای هر عدد حقیقی $x$ برقرار است و :

$x>k \vee x< -k=(k, + \infty ) \cup (- \infty ,-k)=R$

حالا اگر $k=0$ آنگاه تساوی $ | x | >k=0$ برای هر عدد حقیقی غیر صفر برقرار است و:

$x>0 \vee x< -0=x>0 \vee x< 0=(0,+ \infty) \cup (- \infty ,0)=R-0$

واین نشان میدهد که $k$ هر عدد حقیقی می تواند باشد.در کتاب حسابان حالت مثبت را جدا کرده که سوال برای سطح دبیرستان سنگین نباشد.

$ \Box $