اثبات درستی یکی از خاصیت های عاد کردن.

Question

یکی از مباحث ریاضیات گسسته، عاد کردن است. به گونه ای که اگر عددی مانند a عددی مانند b را عاد کند می توان نوشت: $ aq = b → a | b $ یکی از روابطی که بنده در زمینه عاد کردن متوجه شدم این است که با توجه به ویژگی خاصیت تعدی اگر a بتواند b را عاد کند مضارب و توان های آن را هم می تواند عاد کند. پس اگر عددی مانند a-b داشته باشیم، می تواند توان های a-b را هم عاد کند. تا اینجا که پرسشی مطرح نمی شود اما یک نکته ای که در کنکور بسیار مورد توجه طراحان قرار می گیرد رابطه های زیر است که من نمی دانم این روابط از کجا آمده اند و چگونه می توان درستی آن را اثبات کرد:

$ 1- a-b | a^n - b^n ; n ∈ N $ $ 2- a+b | a^n - b^n ; n ∈ 2k $ $ 3- a+b | a^n + b^n ; n ∈ 2k-1$ $ 4- a-b | a^n + b^n ; n ∈ \phi $

Comments

برای نوشتن فرمول ابتدا و انتها آن را $ بگذارید.

Answer 1

به نام خدا.

از اتحاد چاغ و لاغر می دانیم که:($n$ عددی صحیح و مثبت)

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+a^{n-n}b^{n-1})$

توجه کنید که با توجه به صحیح بودن a,b پرانتز دوم همواره عددی صحیح است.

اگر n عددی فرد باشد، با قرار دادن $-b$ به جای b خواهیم داشت:

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+b^{n-1})$

اگر n عددی زوج باشد، با قرار دادن $-b$ به جای b خواهیم داشت:

$a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...-b^{n-1})$