Question

فرض کنید m,n اعداد طبیعی اند به طوری که $(m,n)+[m,n]=m+n$

ثابت کنید یکی از اعداد mیا n ديگری را عاد می‌کند. به نظر می‌رسد برهان خلف راهگشا باشد.

Answer 1

با فرض اینکه $(m, n) =d$ آنگاه a و b وجود دارند بطوری که $$m=ad, n=bd, [m, n] =abd, (a, b) =1$$ رابطه به صورت زیر باز نویسی میشه $$a+b=ab+1 \rightarrow (a-1)(b-1)=0 $$ بنابراین a ( یا b) برابر یک است $$a=1 \rightarrow m=d,,n=bd \rightarrow m/n $$ برای b همچنین.