ورودی منفی یا صفر برای تابع لگاریتمی

Question

سلام وقت بخیر،ورودی یا همان (x) در توابع لگاریتمی به چه دلیل نمی‌تواند صفر یا منفی باشد و تابع لگاریتمی در ازای این ورودی ها تعریف نشده است؟

Answer 1

وقتی ما توان را تعریف می کنیم برای نماهای طبیعی و $0$ مشکلی نیست و پایه هر عددی می تواند باشد مگر زمانی که همزمان پایه و نما $0$ باشد.

وقتی به نمای اعداد صحیح منفی می رسیم پایه نباید صفر باشد چون در حین تبدیل نما به طبیعی پایه معکوس می شود و $0$ معکوس ندارد

وقتی به نمای کسری (گویا) می رسیم باید یرای کسرهای با مخرج زوج حتمن پایه مثبت ( یا صفر ) باشد.

پس هر چه جلوتر می رویم محدودتر می شویم.

حالا توان گنگ را در نظر بگیرید.اگر $a$ گنگ باشد و $b$ عددی دلخواه مثبت وغیر $1$(؟؟؟):

$b^a=Sup_{r \in Q,r< a}b^r$

اگر پایه مثبت باشد این تعریف تمام خواص توان با پایه گویا را دارد.اما اگر پایه منفی یا صفر باشد مجموعه ای را که روی آن سوپریمم گرفته شده را نمی توان ساخت و یا حتی اگر ساخت بیشتر خواص توان با پایه گویا را ندارد.

با این تعریف ثابت می شود $c=b^a>0$.حالا میگوییم $c=b^a \Leftrightarrow Log_bc=a$ .واضح است که $c$ مثبت است.

حالا اگر تابع لگاریتم را به عنوان معکوس نمایی بگیریم دلیل روشنتر است:

در تابع $y=a^x$ اگر $a=1$ تابع ثابت است یک بیک نیست وارون ندارد که لگاریتم شود. و اگر $a$ منفی باشد خیلی از اعداد حقیقی در دامنه تابع قرار نمیگیرند.در صورتیکه ما مخواهیم این کار امکان پذیر باشد.با انتخاب پایه مثبت مشکل حله.

$ \Box $