چه زمانی شهود صحیح است؟

Question

با توجه به پرسشی مشابه، تقریباً می‌دانم که چرا استدلال زیر نادرست است:

در واقع در اینجا از روی شکل به‌طور شهودی نتیجه گرفته‌شده‌است که محیط مربع به محیط دایره میل می‌کند و این شهود، در اینجا ما را به بیراهه راهنمایی کرده‌است و منجر به یک استدلال نادرست شده‌است.

اما وضعیت مشابهی را در نظر بگیرید که در آن اضلاع یک چندضلعی منتظم بر یک دایره مماس هستند (در واقع، مانند بالا، دایره داخل چندضلعی است). می‌دانیم که با افزایش تعداد اضلاع چندضلعی، مساحت چندضلعی به مساحت دایره میل می‌کند.

اما همینطور به‌طور شهودی می‌توان دریافت که با افزایش تعداد اضلاع چندضلعی، محیط چندضلعی به محیط دایره میل می‌کند. این شهود در اینجا صحیح است، اما چرا در استدلال فوق نادرست بوده‌است؟!

Answer 1

استدلال شهودی زمانی صحیح است که استدلال منطقی برای آن ارائه بشه.

$ \Box $

Answer 2

شما یک پرسش فلسفی یا روانشناختی در مورد شهود پرسیدید. پاسخ کوتاه این است که این فقط شهود است و نیاز به آموزش دارد. برای نمونه، یک برنامه‌نویس خوب، شهود خوبی در مورد اینکه چه نوع الگوریتمی یک مشکل خاص را حل می‌کند، دارد. در تمام موارد و در ریاضیات، شهود را با تمرین توسعه می‌دهید.

نیوتن، مدت‌ها قبل از اینکه ریاضی‌دانان بتوانند آنچه را که ما اکنون به عنوان حدها مطالعه می‌کنیم رسمیت ببخشند، شهود خوبی در مورد چگونگی استدلال با کمیت‌های بی‌نهایت کوچک داشت. هرچه آنالیز ریاضی بیشتری بیاموزید، شهود بهتری به شما کمک می‌کند تا ببینید که چه چیزی جواب می‌دهد و چه چیزی خیر.

در مثال شما، شهودِ صحیح، این است که برای تقریبِ طولِ یک منحنی، باید از بخش‌های کوچکی استفاده کنید که تقریباً موازی منحنی هستند. اما همانطور که مشخص است، محیطِ آن گوشه‌های مربع، اینطور نیست، حتی زمانی که گوشه‌ها بسیار کوچک هستند. آن‌ها زمانی مناسب هستند که می‌خواهید مساحتِ یک منحنی را تقریب بزنید.