تست مبانی ریاضی ارشد ریاضی 97

Question

سلام، فرض کنید$f:X\to Y$ تابع باشد و $A \subseteq X, B \subseteq Y$ کدام گزینه درست؟

1. $f(A \cap f^{-1}(B))=f(A) \cap B $

2. $f(A \cup f^{-1}(B))=f(A) \cup B $

3. $ f^{-1} (f(A)\cap B)=A \cap f^{-1}(B) $

4. $ f^{-1} (f(A)\cup B)=A \cup f^{-1}(B) $

بنابر تمرین 9 الف صفحه 87 کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن اثر لین اند لین گزینه 1 است. پاسخ این تمرین با عضوگیری در همان کتاب آمده است. دلیل نادرستی سایر گزینه ها چیست؟

Answer 1

تابع $f:R \longrightarrow R$ را با ضابطه $f(x)=x^2$ در نظر بگیرید و قرار دهید:

$A=[0,1],B=[-4,4]$

$ \Rightarrow f(A \cup f^{-1}(B))=f([0,1] \cup f^{-1}([-4,4])=f([0,1] \cup [-2,2])=f([-2,2])=[0,4]$

$, f(A) \cup B=f([0,1]) \cup [-4,4]=[0,1] \cup [-4,4]=[-4,4]$

این نشان میدهد که گزینه $2$ درست نیست.

حالال قرار دهید:$A=[-1,0],B=[0,1]$ و نادرستی $3$ را نتیجه بگیرید.

اثبات نادرستی $4$ را به کمک $A=[0,1],B=[-1,0)$ انجام دهید.

$ \Box $

Comments

@قاسم شبرنگ، ممنون از شما، مثال نقض روش مفیدی است، حالا سعی کنیم با عضو گیری جلو بریم، در خلال استدلال به عبارتی مثل $f(x)\in f(A)$ می‌رسیم آنگاه باید نتیجه بگیریم $  x\in A $ که همواره برقرار نیست
در کل منظور این هست با استدلال استنتاجی جلو بریم ببینیم کجا به مشکل برخورد می‌کنیم و بنابراین نمیشه حکم را ثابت کرد، مثلاً برای گزینه دو این کار انجام بشه، در این گزینه الان در مثال شما هم معلومه که طرف چپ زیر مجموعه طرف راست هست با عضو گیری هم میشه به این نتیجه رسید ولی طرف راست زیرمجموعه طرف چپ نیست این را هم با عضو گیری جلو بریم. در مورد سایر گزینه هم همینطور.  به نظرم با این شیوه جنبه آموزشی سوال بسیار پررنگ خواهد بود.

---

اگر تابع دو سویی (یکبیک و پوشا) باشد همه گزینه ها درستند.
در جایی به مشکل بر میخوری که تابع پوشا یا یکبیک نباشد.