به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
324 بازدید
در دانشگاه توسط User94 (89 امتیاز)

فرض کنید تابع $f$ بر $(-1,1)$ پیوسته و بر $(-1,0) \cup (0,1)$ مشتق‌پذیر باشد، کدام گزینه درست است؟

  1. ممکن است $ \lim\limits_{x\to 0} f' (x)$ موجود باشد ولی $ f'(0)$ موجود نباشد.

  2. اگر $ \lim\limits_{x\to 0} f' (x)=A$ آن‌گاه $ f'(0)=A$

  3. اگر $ f'(0)=A$ آن‌گاه $ \lim\limits_{x\to 0} f' (x)=A$

  4. مقدار $ \lim\limits_{x\to 0} f' (x)$ وجود ندارد.

در پاسخ کلیدی، جواب درست برای تست زیر گزینه 2 آمده است، در حالیکه وقتی بنابه فرض سوال، تابع در صفر مشتق ندارد پس $ f' (0)$ نمی تواند مقداری مانند $A$ باشد. اصلاً $ f' $ در صفر میتونه حد داشته باشه؟ مثال‌هایی مانند $$f(x)=\vert x\vert $$ یا $$f(x) =\begin{cases} x^2 & x \geq 0, \\ x & x < 0, \end{cases} $$ به نظر گزینه 4 درست باشد؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,343 امتیاز)
انتخاب شده توسط User94
 
بهترین پاسخ

سلام.قبل از هر چیز اینکه در توضیحاتتان اشاره فرمودید که ((در حالیکه وقتی بنابه فرض سوال، تابع در صفر مشتق ندارد پس f′(0) نمی تواند مقداری مانند A باشد. اصلاً f′ در صفر میتونه حد داشته باشه؟)) استدلالی منطقی نیست. زیرا سوال اصلن اشاره نکرده که مشتق تابع در صفر چه وضعیتی دارد.

حل:

تابع $f(x)=x|x|$ مثالی نقض برای رد گزینۀ $1$ و $4$ است زیرا $ f' (x)=2|x|$ و $ \lim_{x\to 0} f' (x)=0$.

همچنین تابع $ f(x) =\begin{cases}x^2Sin( \frac{1}{x} ) & x \neq 0\0 & x=0\end{cases} $ مثالی نقض برای رد گزینه $3$ است.زیرا:

$ f' (0)= \lim_{x\to 0} \frac{x^2Sin( \frac{1}{x})}{x-0}= \lim_{x\to 0} xSin( \frac{1}{x})=0$

پس تابع مشتق را به صورت زیر داریم:

$ f'(x) =\begin{cases}2xSin( \frac{1}{x} )-Cos( \frac{1}{x} ) & x \neq 0\0 & x = 0\end{cases} $

به راحتی می توان نتیجه گرفت که چون حد تابع $g(x)=Cos( \frac{1}{x} )$ در صفر موجود نیست پس حد تابع مشتق در صفر موجود نیست.

برای اثبات گزینه $2$:

$ \lim_{x\to 0} f'(x)=A\Rightarrow \forall \varepsilon >0 \exists \delta >0 \forall x (0< |x|< \delta \Longrightarrow | f' (x) -A|< \varepsilon $

حالا بنابه قضیه مقدار میانگین:

$ \exists y_x:0< |y_x|< |x|< \delta \wedge \frac{f(x)-f(0)}{x} = f' (y_x) \Rightarrow |\frac{f(x)-f(0)}{x}-A|=| f' (y_x)-A|< \varepsilon $

$ \Rightarrow f'(0)=A$

$ \Box $

توسط قاسم شبرنگ (2,343 امتیاز)
ممنون.
تایپ آکولاد را لطفن راهنمایی فرمائید.
توسط User94 (89 امتیاز)
باز هم می‌توان از آکولاد صفحه کلید همراه \ استفاده کرد }\ یا {\ برای چپ و راست
$ {\  }\  $ برای اندازه بزرگتر هم می‌توان از big مانند پرانتز استفاده کرد
$  \{ ‎\big\{ ‎\Big\{ ‎\bigg\{ ‎\Bigg\{ ‎‎\quad  ‎‎‎‎\Bigg\} ‎\bigg\} ‎\Big\} ‎\big\} ‎\}‎ $
توسط قاسم شبرنگ (2,343 امتیاز)
با کمال تشکر.
توسط قاسم شبرنگ (2,343 امتیاز)
اما در هنگام تایپ در صفحه پتئین ( خروجی ) دیده می شود اما هنگام ثبت پاسخ پاک می شود.
توسط User94 (89 امتیاز)
من وقتی تابع دو ضابطه ای را نوشتم همین مشکل را داشتم یعنی در خروجی درست بود اما بعد ذخیره کردن نمایش درست نبود، ظاهراً ادمین محترم درستش کردن

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...