تعریف نقطه انباشتگی در آنالیز ریاضی

Question

سلام خدمت اساتید

تعریف دقیق نقطه انباشتگی چی هست؟ امکانش هست مثالی هم در این زمینه بزنید که نقطه انباشتگی در یک مجموعه چطور به دست میاد؟ ممنون

Answer 1

تعریف:

فرض کنید $(X, \tau )$ یک توپولوژی باشد و $A \subseteq X$.نقطۀ $p \in X$ را یک نقطۀ انباشتگی (حدی ) مجموعۀ $A$ گویند هرگاه هر همسایگی $p$ (هر مجموعۀ باز شامل $p$) مجموعۀ $A$ را در نقطه‌ای غیر از $p$ قطع کند.به عبارت دیگر برای هر همسایگی $p$ مانند $U$ داشته باشیم:

$(U-${p}$) \cap A \neq \phi [\equiv U \cap (A-${p}$) \neq \phi]$

حالا مجموعۀ اعداد حقیقی را با متریک اقلیدسی در نظر بگیرید و قرار دهید:

$A=${$\frac{1}{n} |n \in N $}$ $

می توان نشان داد که $p=0$ تنها نقطۀ انباشتگی $A$ است.یا مثلن همۀ نقاط بازۀ $[0,2]$ نقاط انباشتگی بازۀ $[0,2)$ است.

$ \Box $