سؤال را در حالت کلی برای ریشه $n$ حل می کنم.
برای اعداد با توان طبیعی چون ضرب خاصیت جابجایی دارد خیلی سرراست داریم که:
$(ab)^n=(ab)(ab)...(ab)=(aa...a)(bb...b)=a^nb^n$
در رابطه های بالا $n$ تا $a$ و $n$ تا $b$ و $n$ تا $ab$ داریم.(البته این اثبات ضعیفه برای دبیرستان خوبه اما در سطح عالی باید استقراء ریاضی را بکارد برد.)
حالا توانهای کسری (رادیکال) را به صورت زیر برای هر عدد غیر منفی تعریف کنیم:
$ \sqrt[n]{a} \vee a^{ \frac{1}{n} }:=x \wedge x \geq 0,x^n=a$
(وجود این $x$ در سطح بالاتر از دبیرستان در مقدمات هر کتاب آنالیزی یافت می شود ).حالا با این تعریف داریم:
$if \sqrt[n]{a} =x, \sqrt[n]{b} =y \Rightarrow a=x^n,b=y^n \Rightarrow ab=x^ny^n=(xy)^n \Rightarrow \sqrt[n]{ab} =xy= \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} $
$ \Box $
