اثبات قوانین ضرب رادیکالها به زبان ریاضی

Question

اثبات ریاضی قانون $\sqrt {a ×b} = \sqrt {a} × \sqrt {b}$ به چه شکل است؟ منظورم اثبات به زبان ریاضی هستش وگرنه در کتاب با مثال توضیح داده شده. قانون برای جمع اعداد رادیکالی $\sqrt {a + b} =\sqrt {a} + \sqrt {b}$ صدق نمی‌کنه. در آموزش دروس دبیرستان فقط گفته میشه اما اثبات نمیشه.

Answer 1

سؤال را در حالت کلی برای ریشه $n$ حل می کنم.

برای اعداد با توان طبیعی چون ضرب خاصیت جابجایی دارد خیلی سرراست داریم که:

$(ab)^n=(ab)(ab)...(ab)=(aa...a)(bb...b)=a^nb^n$

در رابطه های بالا $n$ تا $a$ و $n$ تا $b$ و $n$ تا $ab$ داریم.(البته این اثبات ضعیفه برای دبیرستان خوبه اما در سطح عالی باید استقراء ریاضی را بکارد برد.)

حالا توانهای کسری (رادیکال) را به صورت زیر برای هر عدد غیر منفی تعریف کنیم:

$ \sqrt[n]{a} \vee a^{ \frac{1}{n} }:=x \wedge x \geq 0,x^n=a$

(وجود این $x$ در سطح بالاتر از دبیرستان در مقدمات هر کتاب آنالیزی یافت می شود ).حالا با این تعریف داریم:

$if \sqrt[n]{a} =x, \sqrt[n]{b} =y \Rightarrow a=x^n,b=y^n \Rightarrow ab=x^ny^n=(xy)^n \Rightarrow \sqrt[n]{ab} =xy= \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} $

$ \Box $