به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
141 بازدید
در دبیرستان توسط m.delfan39 (5 امتیاز)

اثبات ریاضی قانون $\sqrt {a ×b} = \sqrt {a} × \sqrt {b}$ به چه شکل است؟ منظورم اثبات به زبان ریاضی هستش وگرنه در کتاب با مثال توضیح داده شده. قانون برای جمع اعداد رادیکالی $\sqrt {a + b} =\sqrt {a} + \sqrt {b}$ صدق نمی‌کنه. در آموزش دروس دبیرستان فقط گفته میشه اما اثبات نمیشه.

مرجع: ریاضی دهم صفحه ۵۵ _ صفحه ۷۰ و ۷۵ ریاضی نهم

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,242 امتیاز)
انتخاب شده توسط m.delfan39
 
بهترین پاسخ

سؤال را در حالت کلی برای ریشه $n$ حل می کنم.

برای اعداد با توان طبیعی چون ضرب خاصیت جابجایی دارد خیلی سرراست داریم که:

$(ab)^n=(ab)(ab)...(ab)=(aa...a)(bb...b)=a^nb^n$

در رابطه های بالا $n$ تا $a$ و $n$ تا $b$ و $n$ تا $ab$ داریم.(البته این اثبات ضعیفه برای دبیرستان خوبه اما در سطح عالی باید استقراء ریاضی را بکارد برد.)

حالا توانهای کسری (رادیکال) را به صورت زیر برای هر عدد غیر منفی تعریف کنیم:

$ \sqrt[n]{a} \vee a^{ \frac{1}{n} }:=x \wedge x \geq 0,x^n=a$

(وجود این $x$ در سطح بالاتر از دبیرستان در مقدمات هر کتاب آنالیزی یافت می شود ).حالا با این تعریف داریم:

$if \sqrt[n]{a} =x, \sqrt[n]{b} =y \Rightarrow a=x^n,b=y^n \Rightarrow ab=x^ny^n=(xy)^n \Rightarrow \sqrt[n]{ab} =xy= \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} $

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...