$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$
$ \Rightarrow 8+6=2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \Rightarrow (a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=7$
از طرفی دیگر:
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \Rightarrow a^2+b^2+c^2=4-2ab-2ac-2bc$
$4-2ab-2ac-2bc-ab-ac-bc=7 \Rightarrow ab+ac+bc=-$
حالا اگر $c,b,a$ را ریشه های معادله ای درجه $3$ با متغیر $x$ فرض بگیریم داریم:
$(x-a)(x-b)(x-c)=0 \Rightarrow x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc=0$
$ \Rightarrow x^3-2x^2-x+2=0$
حالا توجه داریم که $1-2-1+2=0$ یعنی محموع ضرایب صفر است لذا یکی از ریشه ها $1$ است و معادله بر $x-1$ بخش پذیر است:
$(x-1)(x^2-x-2)=0 \Rightarrow (x-1)(x-2)(x+1)=0$
پس معادله دارای سه ریشه $2,1,-1$ است و چون معادلات اولیه نسبت به $c,b,a$ متقارن اند پس هر جایگشت $2,1,-1$ یک جواب مسأله است لذا $6$ جواب داریم.
$ \Box $
