به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
43 بازدید
در دبیرستان توسط amirrahh (-3 امتیاز)

درشکل زیر، خانه‌های خالی را با رقم‌های ۱ تا ۹ پر کنید (تکرار ارقام مجاز نیست) به‌طوری‌که تساوی زیر برقرار باشد. مربع‌های نزدیک به هم معرف یک عدد دورقمی‌اند. توضیحات تصویر

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,025 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

فرض کنید که $ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} =1$ و $a< b< c$.واضح است که:

$a \geq 12 \wedge x+y+z \leq 9+8+6=24 \wedge 1=\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}< \frac{x+y+z}{12}$

$ \Rightarrow 13 \leq x+y+z \leq 24$

حالا اگر عدد $1$ در صورت ها باشد $a \geq 23$ نامساوی بالا جواب ندارد چون یکی از اعداد $1$ است. بنابر این عدد $1$ در مخرج کسرها قرار می گیرد.حالا با استدلالی مشابه اگر $a \geq 24$ آنگاه باید $x+y+z=24$ که نشان میدهد صورتها $7,8,9$ است پس $b \geq 31$ , $c \geq 41 $ بنابراین:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{b}< \frac{x}{24} + \frac{y}{31} + \frac{z}{41} < \frac{9}{24} + \frac{9}{31} + \frac{9}{41}= \frac{8997}{10168}< 1 $ ( $\star$ )

که این تناقض است.در نتیجه باید $12 \leq a \leq 21$.

از طرفی دیگر مخرجها خاصیت جالبی دارند:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} =1\Rightarrow \frac{y}{b} + \frac{z}{c} =1-\frac{x}{a} \Rightarrow \frac{cy+bz}{bc}= \frac{a-x}{a} \Rightarrow bc(a-x)=a(cy+bz)$

$a|bc(a-x)$

حالا اگر از این خاصیت و از استدلال ($ \star $) استفاده کنیم و تک تک حالات $a$ را جاگزاری کنیم (من این کار را با حوصله انجام دادم و در اینجا مجال ارائه آن نیست) متوجه می شویم مسأله تنها یک جواب دارد یعنی:

$ \frac{9}{12} + \frac{5}{34} + \frac{7}{68} =1$.

و اگر مساله را یک جدول جادویی ( وفقی) بگیریم با جایگشت کسرها در واقع $6$ جواب داریم.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...