فرض کنید که $ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} =1$ و $a<b<c$.واضح است که:
$a \geq 12 \wedge x+y+z \leq 9+8+6=24 \wedge 1=\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}< \frac{x+y+z}{12}$
$ \Rightarrow 13 \leq x+y+z \leq 24$
حالا اگر عدد $1$ در صورت ها باشد $a \geq 23$ نامساوی بالا جواب ندارد چون یکی از اعداد $1$ است. بنابر این عدد $1$ در مخرج کسرها قرار می گیرد.حالا با استدلالی مشابه اگر $a \geq 24$ آنگاه باید $x+y+z=24$ که نشان میدهد صورتها $7,8,9$ است پس $b \geq 31$ , $c \geq 41 $ بنابراین:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{b}< \frac{x}{24} + \frac{y}{31} + \frac{z}{41} <\frac{9}{24} + \frac{9}{31} + \frac{9}{41}= \frac{8997}{10168}<1 $ ( $\star$ )
که این تناقض است.در نتیجه باید $12 \leq a \leq 21$.
از طرفی دیگر مخرجها خاصیت جالبی دارند:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} =1\Rightarrow \frac{y}{b} + \frac{z}{c} =1-\frac{x}{a} \Rightarrow \frac{cy+bz}{bc}= \frac{a-x}{a} \Rightarrow bc(a-x)=a(cy+bz)$
$a|bc(a-x)$
حالا اگر از این خاصیت و از استدلال ($ \star $) استفاده کنیم و تک تک حالات $a$ را جاگزاری کنیم (من این کار را با حوصله انجام دادم و در اینجا مجال ارائه آن نیست) متوجه می شویم مسأله تنها یک جواب دارد یعنی:
$ \frac{9}{12} + \frac{5}{34} + \frac{7}{68} =1$.
و اگر مساله را یک جدول جادویی ( وفقی) بگیریم با جایگشت کسرها در واقع $6$ جواب داریم.
$ \Box $
