معمای ذخیره انبار مورچه ها

Question

مورچه ها مقداری غذا ذخیره کرده بودند.آن ها روز اول یک پنجم ذخیره ی انبار را به انبارشان اضافه کردند.همان شب یک ششم ذخیره ی انبار را مصرف کردند.روز دوم یک هفتم ذخیره ی انبار را به انبارشان اضافه کردند.همان شب یک هشتم ذخیره ی انبار را مصرف کردند. به همین ترتیب روز سوم یک نهم اضافه و همان شب یک دهم مصرف کردند.در انتهای روز صدم نسبت ذخیره ی انبار مورچه ها به ذخیره ی انبار آن ها در روز اول چه قدر خواهد شد؟

Answer 1

جواب $ 204 / 203 $ است .

فرض کنیم ذخیره اولیه مورچه ها $ x $ است . چون روز اول $ 1 / 5 $ ذخیره اولیه را به انبار اضافه می کنند پس ذخیره مورچه ها در روز اول $ x/ 5 + x = 6x / 5 $ است . حال در شب اول $ 1 / 6 $ ذخیره انبار را مصرف می کنند پس ذخیره انبار در شب اول $ 6x / 5 - 1 / 6 \times 6x / 5 = x $ خواهد بود . روز دوم $1 / 7 $ ذخیره انبار را به آن اضافه می کنند پس ذخیره انبار در روز دوم $ x + x / 7 = 8x / 7 $ خواهد بود . سپس در همان شب $ 1 / 8$ ذخیره را مصرف می کنند پس در شب دوم ذخیره انبار $ 8x / 7 - 1 / 8 \times 8x / 7 = x $ است . همین طور ادامه دهیم متوجه می شویم ذخیره انبار در پایان هر شب همان $x$ است . پس در پایان شب 99 ام ذخیره انبار $x$ است حال مورچه ها در روز 100 ام $1 / 203$ ام ذخیره انبار را اضافه می کنند پس در روز 100 ام ذخیره انبار $ x / 203 + x = 204x / 203 $ است . حال نسبت این عدد به ذخیره اولیه یعنی $x$ برابر $ 204 / 203 $ است .