جمله ی n ام دنباله ی عددی زیر چیست؟

Question

جمله ی $n$ ام دنباله ی زیر چیست؟

$ \frac{1}{2}, \frac{5}{6} ,1, \frac{11}{10} , \frac{7}{6} ,... $

من فقط فهمیدم که مقدار افزایش این دنباله، خودش دنباله ی دیگری می شود:

$ \frac{1}{3} , \frac{1}{6} , \frac{1}{10} , \frac{1}{15} ,...$

که جمله ی عمومیش این شد:

$ \frac{2}{(n+1)(n+2)} $

اما جمله ی عمومی دنباله ی اصلی رو نمیتونم بدست بیارم.

Comments

کاش روی سوال رو واضح تر مینوشتی!

Answer 1

سلام دنباله را به شکل زیر می نویسیم : \frac{2}{4} , \frac{5}{6} , \frac{8}{8} , \frac{11}{10} , \frac{14}{12}

صورت و مخرج دنباله ، هر کدام به صورت جداگانه تشکیل یک دنباله حسابی می دهند . جمله ی n ام دنباله به شکل زیر نوشته می شود : \frac{3n-1}{2n+2}

Comments

تشکر فراوان

Answer 2

راه حل جالبی رفتید.من کاملش می کنم:

$ \forall n \in N:a_{n+1}-a_n= \frac{2}{(n+1)(n+2)}=2( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})$

$a_2-a_1=2( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} )$

$a_3-a_2=2( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} )$

$.$

$.$

$.$

$a_n-a_{n-1}=2( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )$

حالا اگر طرفین تساویها را با هم جمع کنیم داریم:

$a_n-a_1=2( \frac{1}{2}- \frac{1}{n+1} ) \Rightarrow a_n=1- \frac{2}{n+1} +a_1=1- \frac{2}{n+1} + \frac{1}{2}= \frac{3}{2} - \frac{2}{n+1}= \frac{3(n+1)-4}{2(n+1)} $

$ \Rightarrow a_n= \frac{3n-1}{2(n+1)} $

$ \Box $

Comments

بسیار عالی، تشکر می کنم کمک بزرگی کردید.