آیا مستقل بودن دو پیشامد را باید از بررسی $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ نتیجه گیری کرد؟

Question

سلام و عرض ادب خدمت اساتید گرامی. دو تاس را به هوا پرتاب می‌کنم و دو پیشامد به شرح زیر را تعریف می‌کنیم.

پیشامد A: رو شدن عدد 2 در تاس اول.

پیشامد B: مجموع دو تاس رو شده عدد پنج باشد.

آیا می‌توان از رابطهٔ $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ جهت بررسی استقلال دو پیشامد استفاده کنیم؟ که داریم $\frac{1}{36}\neq\frac{1}{6}\times\frac{4}{36}$.

Answer 1

زمانی دو متغیر تصادفی (آزمایش، پدیده) ناوابسته (مستقل) هستند که نتیجهٔ هیچ یک بر نتیجهٔ دیگری تأثیری نداشته باشد. برای نمونه اگر دو تاس مجزا داشته باشیم و پدیدهٔ یکُم را نتیجهٔ پرتاب تاس نخست و پدیدهٔ دوم را نتیجهٔ پرتاب تاس دوم بگیریم و این دو تاس را پرتاب کنیم (با فرض اینکه برخورد با یکدیگر یا هیچ رابطهٔ خاصی در نظر گرفته نشده باشد، مثلا با طناب به هم وصل نباشند و غیره)، با اینکه دو تاس حتی همزمان پرتاب شوند، اینکه اولی حاصلش مثلا ۶ بشود هیچ اطلاعاتی به ما در مورد اینکه نتیجهٔ دومی چه شده‌است نمی‌دهد چون هیچ ربط منطقی و علمی‌ای بین نتیجهٔ این دو نیست. پس از هم ناوابسته (مستقل) هستند. در این شرایط هست که می‌توانید از فرمولی که اشاره کردید برای احتمال هر برآمد (پیشامد) از آنها نیز استفاده کنید. در غیر اینصورت رابطهٔ $P(X=x\cap Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ الزاما برقرار نیست. حتی اگر برای نتیجهٔ خاصی جایگذاری عددها در این فرمول به تساوی برسد، مستقل‌بودن پدیده‌ها را ثابت نمی‌کند و نمی‌توانید برای حالت‌های دیگر به خاطر آن یک حالتِ خاص سریع نتیجه بگیرید که این فرمول باید کماکان برقرار باشد.

اما مستقل بودن برای دو پیشامد (دو نتیجه) صرفا توسط خود این برابری تعریف می‌شود و نه توسط پدیده‌هایشان. یعنی اگر مقدار احتمال‌ها را در فرمول جایگذاری کردید و رابطه برقرار بود، این دو پیشامد مستقل هستند (حتی اگر برای مقدارهای دیگر، پیشامدهای متناظر با متغیرهای تصادفی‌شان برابری را صدق نکنند).

اکنون به سراغ مثال شما برویم.

دو تاس را پرتاب کردیم ولی این بار پدیدهٔ نخست را نتیجهٔ پرتاب نخست و پدیدهٔ دوم را جمع نتیجهٔ دوتاس بگیریم. آیا مستقل هستند؟ خیر! چون اگر نتیجهٔ پدیدهٔ نخست را بدانید اطلاعاتی در مورد نتیجهٔ پدیدهٔ دوم دارید! برای نمونه نتیجهٔ پدیدهٔ دوم نمی‌تواند عدد کمتر از نتیجهٔ اولی باشد، نه؟ همین اینکه می‌گوئید دومی حاصل جمع اولی با یک چیز دیگر است، به نظرتان وابستگی ایجاد نمی‌کند؟ پس دو متغیر تصادفی مستقل نیستند. اکنون یک حالت خاص، یک نتیجه، یک پیشامد را مد نظر گرفتید و خودتان هم محاسبه کردید یعنی پیشامد اینکه پدیدهٔ اول ۲ و پدیدهٔ دوم ۵ نتیجه دهد. هر یک به تنهایی $\frac{1}{6}$ و $\frac{4}{36}$ احتمال دارند، و با یکدگیر $\frac{1}{36}$ که حاصلضرب دو عدد دیگر نیست، پس نه تنها دو پدیده مستقل نبودند، بلکه این پیشامدهایشان (حالت خاص، نتیجهٔ خاص) شان نیز در فرمول صدق نکرد و در نتیجه مستقل نیستند.

Comments

سپاس از شما، کتاب تجربی یازدهم از راه احتمال شرطی این مثال رو توضیح داده بود و من از این راه برای بچه ها توضیح دادم، شک کردم که نکنه نکته ای داشته که از این راه نرفته.