یک سکه ناهمگن را دو بار پرتاب میکنیم آیا $P{(پ,ر)} = P{(ر,پ)}$

Question

سلام؛ یک سکه ناهمگن را دو بار پرتاب میکنیم. آیا در این حالت میتوان گفت:

$$P{(پ,ر)} = P{(ر,پ)}$$

و اینکه آیا از تمام قواعد همگن‌ها میتوان در حالت ناهمگن نیز استفاده کرد؟

Comments

منظور از قاعده‌های همگن‌ها دقیقا چه قوانینی است؟

Answer 1

در یک سکهٔ ناهمگن تفاوتی که دارید این است که $P(ش)$ الزاما با $P(خ)$ برابر نیست. سکهٔ ناهمگن یعنی سکه‌ای که توزیع جرم در سطح آن یکنواخت نبوده‌است. بنابراین مشخص است که همیشه ناهمگن بودن، ناعادل بودنِ سکه را نتیجه نمی‌دهد. اما برخی ناهمگن را به اشتباه مترادفِ ناعادل unfair در مسأله‌هایشان به کار می‌برند. به هر حال، فرض کنید داریم $P(ش)\neq P(خ)$. اگر نتیجه‌های پرتاب‌های سکه از هم مستقل باشند (که فرض معمول همین است) آنگاه؛

$$\begin{array}{l}P(ش,خ)=P(خ)P(ش)\\ P(خ,ش)=P(ش)P(خ)\end{array}$$ و چون ضرب اعداد حقیقی جابجایی است پس هر دو برابر می‌شوند.

اکنون بخش دوم پرسش شما. مشخص نکردید چه چیزی از قوانین منظورتان است ولی اگر فرض کنیم رابطهٔ بین احتمالِ مشاهدهٔ برآوردهای گوناگون آزمایش پرتاب سکهٔ همگن (به معنای عادل) است آنگاه پاسخ خیر است. چون با سکهٔ عادل داریم:

$$P(ش,ش)=P(خ,خ)=P(ش,خ)$$ ولی با سکهٔ ناعادل این سه مقدار متفاوت خواهند بود.