قرار دهید $u=x-2$ بنابر این:
$ \Rightarrow \frac{dy}{du} = \frac{dy}{dx} \frac{dx}{du}= \frac{dy}{dx} \times 1 \Rightarrow \frac{dy}{du} = \frac{dy}{dx} $
لذا کافیست جواب معادله زیر را حول صفر بیابیم:
$4uy''+2(1-u)y'-y=0$
حالا به کمک سریهای توانی قرار دهید:
$y= \sum _{n=0}^ \infty a_nu^n \Rightarrow y'=\sum _{n=1}^ \infty na_nu^{n-1},\sum _{n=2}^ \infty n(n-1)a_nu^{n-2}$
$ \Rightarrow 4u\sum _{n=2}^ \infty n(n-1)a_nu^{n-2}+2\sum _{n=1}^ \infty na_nu^{n-1}-u\sum _{n=1}^ \infty na_nu^{n-1}-\sum _{n=0}^ \infty a_nu^n=0$
$ \sum_{n=0}^ \infty [2(n+1)(2n+1)a_{n+1}-(n+1)a_n]=0$
بنابراین رابطه بازگشتی زیر را داریم:
$a_{n+1}=\frac{1}{2(2n+1)} a_n(n \geq 0) \Rightarrow a_n= \frac{1}{2^n(2n-1)(2n-3)...(3)(1)}a_0$
$= \frac{(2)(4)...(2n-2)}{2^n(2n-1)(2n-3)...(3)(1)(2)(4)...(2n-2)}a_0= \frac{2^{n-1}(n-1)!}{2^n(2n-1)!}a_0= \frac{(n-1)!}{2(2n-1)!} a_0 $
از طرفی دیگر بنابه آزمون نسبت سری همگراست زیرا:
$ \lim_{n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to \infty \frac{1}{2(2n+1)} } =0<1$
$ \Box $
