به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
75 بازدید
در دانشگاه توسط a11013 (16 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

به این سوال کامل جواب دهید

چهار جمله اول سری جواب معادله زیر را به دست آورید

$(x^2-2x)y''-5(x-1)y'-7y=Lnx, y(1)=1, y'(1)=-1$

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,420 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

قرار دهید:

$u=x-1 \Rightarrow \frac{dy}{du} = \frac{dy}{dx} . \frac{dx}{du}= \frac{dy}{dx} \times 1= \frac{dy}{dx} $

$ \Rightarrow (u^2-1)y''-5uy'-7y=Ln(u+1)$

فرض کنید: $y= \sum _{n=0}^ \infty a_nu^n$ بنابر این:

$y'=\sum _{n=1}^ \infty na_nu^{n-1},y''=\sum _{n=2}^ \infty n(n-1)a_nu^{n-2}$

$ \Rightarrow \sum _{n=0}^ \infty [n(n-1)-5n-7]a_nu^n-\sum _{n=2}^ \infty n(n-1)a_nu^{n-2}=Ln(u+1)$

$=\sum _{n=1}^ \infty \frac{(-1)^n}{n} u^n$

$ \sum_{n=0}^ \infty [(n^2-6n-7)a_n-(n+2)(n+1)a_{n+2}]=\sum _{n=1}^ \infty \frac{(-1)^n}{n} u^n$

بنابر این از تساوی ضریبهای متناظر داریم:

$ (n^2-6n-7)a_n-(n+1)(n+2)a_{n+2}= \frac{(-1)^n}{n}(n \geq 1) , -7a_0-2a_2=0$

از طرفی دیگر بنا به شرایط اولیه داریم:

$y(u=0)=1,y'(u=0)=-1 \Rightarrow a_0=1,a_1=-1$

$ \Rightarrow a_2=- \frac{7}{2} $

حالا اگر در رابطه بازگشتی عدد $1$ را جاگذاری کنیم داریم:

$2a_1+a_3=- \frac{1}{6} \Rightarrow a_3=- \frac{1}{6}-2a_1=- \frac{1}{6}+2= \frac{11}{6} $

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...