قرار دهید:
$u=x-1 \Rightarrow \frac{dy}{du} = \frac{dy}{dx} . \frac{dx}{du}= \frac{dy}{dx} \times 1= \frac{dy}{dx} $
$ \Rightarrow (u^2-1)y''-5uy'-7y=Ln(u+1)$
فرض کنید: $y= \sum _{n=0}^ \infty a_nu^n$ بنابر این:
$y'=\sum _{n=1}^ \infty na_nu^{n-1},y''=\sum _{n=2}^ \infty n(n-1)a_nu^{n-2}$
$ \Rightarrow \sum _{n=0}^ \infty [n(n-1)-5n-7]a_nu^n-\sum _{n=2}^ \infty n(n-1)a_nu^{n-2}=Ln(u+1)$
$=\sum _{n=1}^ \infty \frac{(-1)^n}{n} u^n$
$ \sum_{n=0}^ \infty [(n^2-6n-7)a_n-(n+2)(n+1)a_{n+2}]=\sum _{n=1}^ \infty \frac{(-1)^n}{n} u^n$
بنابر این از تساوی ضریبهای متناظر داریم:
$ (n^2-6n-7)a_n-(n+1)(n+2)a_{n+2}= \frac{(-1)^n}{n}(n \geq 1) , -7a_0-2a_2=0$
از طرفی دیگر بنا به شرایط اولیه داریم:
$y(u=0)=1,y'(u=0)=-1 \Rightarrow a_0=1,a_1=-1$
$ \Rightarrow a_2=- \frac{7}{2} $
حالا اگر در رابطه بازگشتی عدد $1$ را جاگذاری کنیم داریم:
$2a_1+a_3=- \frac{1}{6} \Rightarrow a_3=- \frac{1}{6}-2a_1=- \frac{1}{6}+2= \frac{11}{6} $
$ \Box $
