جواب را به کمک سریها بیابید.قرار دهید:
$y= \sum_{n=0}^ \infty a_nx^n \Rightarrow y'=\sum _{n=1}^ \infty na_nx^{n-1},y=\sum _{n=2}^ \infty n(n-1)a_nx^{n-2}$
حالا اگر ضریبها را ضرب و دسته بندی کنیم و کرانهای سیگماها را تغییر دهیم به این میرسیم:(من به خاطر طولانی بودن از جزئیات می گذرم).
$ \sum_{n=0}^ \infty ((n+2)(n+1)a_{n+2}+(n-3)(n-2)a_n)=5-2x$
بنابر این باید برای این دو چندجمله ای ضریب های متناظر برابر باشند:
$\Rightarrow 2a_2+6a_0=5,6a_3+2a_1=-2,a_{n+2}= \frac{(n-3)(n-2)}{(n+2)(n+1)} a_n(n \geq 2)$
$ \Rightarrow a_2= \frac{5}{2} -3a_0,a_3=- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}a_1 ,a_4=a_5=a_6=a_7=...=0$
$y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3=a_0+a_1x+[ \frac{5}{2} -3a_0]x^2+[- \frac{1}{3} - \frac{1}{3}a_1]x^3$
$=a_0(1-3x^2)+a_1(x- \frac{1}{3} x_3)+( \frac{5}{2} x^2- \frac{1}{3} x^3)$
به سادگی می توان نشان داد که $y_1=1-3x^2$ و $y_2=x- \frac{1}{3} x^3$ دو جواب خاص معادله در حالت همگن است و رونسکیی آنها مخالف صفر است:
$W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_1'y_2=(1-3x^2)(1-x^2)+6x(x- \frac{1}{3} x^3)$
$=1-4x^2+3x^4+6x^2-2x^4=1+2x^2+x^4 \neq 0$
و $y_3= \frac{5}{2} x^2- \frac{1}{3} x^3$ نیز یک جواب خاص معادله است.بنابراین جواب بالا واقعن جواب عمومی است.(چرا؟).
$ \Box $
من وارد جزئیات و اینکه سری فوق همگراست و جوابها تحت چه شرایطی وجود دارند نشدم.برای این کار به کتاب بویس مراجعه شود.
