Question

مطلوب است محاسبه xدر صورتی که $(x+3) \sqrt{48-8x- x^{2} } =x-24$ $x+3=a;x-24=b$;فرض کردم و $48-8x- x^{2} =2(24-x)+9- (x+3)^{2}$

Answer 1

من در اینجا فقط ایده را می دم و اثبات را به خاطر طولانی بودن مفصل نمی آورم:

$48-8x-x^2=48+16-16-8x-x^2=64-(x^2+8x+16)=8^2-(x+4)^2$

با توجه به اینکه زیر رادیکال باید منفی نباشد داریم:

$8^2-(x+4)^2 \geq 0 \Rightarrow -8 \leq x+4 \leq 8 \Rightarrow -1 \leq \frac{x+4}{8} \leq 1$

حالا می توان کسر بین نامساوی ها را را برابر سینوس زاویه ای مانند $\theta$ قرار داد:

$\frac{x+4}{8} =Sin \theta \Rightarrow x=8Sin \theta -4 \Rightarrow 8|Cos \theta |(8Sin \theta -1)=8Sin \theta -28$

حالا با مشخص کردن وضعیت علامت کسینوس تتا و قرار دادن $p:=Sin \theta +Cos \theta$ و $t:=Sin \theta -Cos \theta$ به معادلات زیر می رسیم:

$8p^2-2p-1=0,8t^2-2t-15=0$

با حل این معادلات و به دست آوردن سینوس تتا به دست می آید:

$x=-2(1+ \sqrt{7} ),x=-(5+ \sqrt{31} )$

$\Box$

Answer 2

$$\Longrightarrow (x+3) \sqrt{48-8x- x^{2} } =x-24 \Longrightarrow (x+3)^{2}(48-8x- x^{2} )= (x-24)^{2} \Longrightarrow a^{2}(-2b+9- a^{2} )= b^{2} \Longrightarrow a^{4} +2 a^{2}.b + b^{2}=9 a^{2} \Longrightarrow ( a^{2} +b)^{2} =9 a^{2} \Longrightarrow a^{2} +b= \pm 3a \Longrightarrow 1. a^{2} +b=3a \Longrightarrow (x+3)^{2} +x-24=3x+9 \Longrightarrow x^{2} +4x-24=0 \Longrightarrow x=-2 \pm 2 \sqrt{7} ,2. a^{2} +b=-3a \Longrightarrow (x+3)^{2} +x-24=-3x-9 \Longrightarrow x^{2} +10x-6=0 \Longrightarrow x=-5 \pm \sqrt{31} \Longrightarrow S= {-2-2 \sqrt{7} ,-5- \sqrt{31} }$$