من در اینجا فقط ایده را می دم و اثبات را به خاطر طولانی بودن مفصل نمی آورم:
$48-8x-x^2=48+16-16-8x-x^2=64-(x^2+8x+16)=8^2-(x+4)^2$
با توجه به اینکه زیر رادیکال باید منفی نباشد داریم:
$8^2-(x+4)^2 \geq 0 \Rightarrow -8 \leq x+4 \leq 8 \Rightarrow -1 \leq \frac{x+4}{8} \leq 1$
حالا می توان کسر بین نامساوی ها را را برابر سینوس زاویه ای مانند $ \theta $ قرار داد:
$ \frac{x+4}{8} =Sin \theta \Rightarrow x=8Sin \theta -4 \Rightarrow 8|Cos \theta |(8Sin \theta -1)=8Sin \theta -28$
حالا با مشخص کردن وضعیت علامت کسینوس تتا و قرار دادن $p:=Sin \theta +Cos \theta $ و $t:=Sin \theta -Cos \theta $ به معادلات زیر می رسیم:
$8p^2-2p-1=0,8t^2-2t-15=0$
با حل این معادلات و به دست آوردن سینوس تتا به دست می آید:
$x=-2(1+ \sqrt{7} ),x=-(5+ \sqrt{31} )$
$ \Box $