Question

مطلوب است محاسبه $x$ و $y$ در صورتی که: $\sqrt{x} (1+ \frac{1}{x+y} )= \frac{6}{4}$ و$(1- \frac{1}{x+y} ) \sqrt{y}= \frac{6}{5}$ برای محاسبه؛ داخل پرانتز ها را a و b گرفته؛ از اتحاد ها بهره می بریم.

Answer 1

$$a=1+ \frac{1}{x+y} ;b=1- \frac{1}{x+y} \Longrightarrow a+b=2;a-b= \frac{2}{x+y} \Longrightarrow a \sqrt{x} = \frac{6}{4} ;b \sqrt{y} = \frac{6}{5} \Longrightarrow a^{2} = \frac{9}{x} ; b^{2} = \frac{36}{25y} \Longrightarrow a^{2} - b^{2} = \frac{9}{4x} - \frac{36}{25y} \Longrightarrow \frac{4}{x+y} = \frac{9}{4x} - \frac{36}{25y} \Longleftrightarrow 144 x^{2} -225 y^{2} +319xy=0 \Longrightarrow 144 ( \frac{x}{y} )^{2} +319 \frac{x}{y} -225=0 \Longrightarrow \sqrt{ \Delta } =481 \Longrightarrow \frac{x}{y} = \frac{9}{16} \Longrightarrow x=9 k^{2} ;y=16 k^{2} \Longrightarrow \sqrt{x} (1+ \frac{1}{x+y} )= \frac{6}{4} \Longrightarrow3k(1+ \frac{1}{25 k^{2} } )= \frac{3}{2} \Longrightarrow 50 k^{2} -25k+2=0 \Longrightarrow k= \frac{2}{5} \Longrightarrow x= \frac{36}{25} ;y= \frac{64}{25};k= \frac{1}{10} \Longrightarrow x= \frac{9}{100} ;y= \frac{16}{100}$$

Comments

اواخر استدلال ایراد دارد.

Answer 2

قرار دهید $a:= \sqrt{x}$ و $b:= \sqrt{y}$.بنابراین چون $a \neq 0,b \neq 0$ (چرا؟) داریم:

$(1+ \frac{1}{a^2+b^2} )= \frac{6}{4a} \wedge (1- \frac{1}{a^2+b^2} )= \frac{6}{5b}$

حالا قرار دهید $X:=1+ \frac{1}{a^2+b^2}$ و $Y:=1- \frac{1}{a^2+b^2}$.بنابراین:

$X+Y=2,X-Y= \frac{2}{a^2+b^2} ,X= \frac{6}{4a} ,Y= \frac{6}{5b} \Rightarrow \frac{36}{16a^2} - \frac{36}{25b^2} = \frac{4}{a^2+b^2}$

$\Rightarrow \frac{9}{16a^2} - \frac{9}{25b^2} = \frac{1}{a^2+b^2}$

بعد از ساده کردن این کسر نتیجه میگیریم که:

$225( \frac{b}{a} )^4-319( \frac{b}{a} )^2-144=0 \Rightarrow (\frac{b}{a})^2 = -\frac{16}{9} \vee \frac{9}{25}$

واضح است که جواب منفی قابل قبول نیست و چون $\frac{b}{a} >0$ پس باید $\frac{b}{a} = \frac{4}{3}$.

$\Rightarrow \frac{Y}{{X} } = \frac{3}{5} \Rightarrow X= \frac{5}{4} ,Y= \frac{3}{4} \Rightarrow a= \frac{6}{5} ,b= \frac{8}{5} \Rightarrow x= \frac{36}{25} ,y= \frac{64}{25}$

$\Box$

Comments

با عرض معذرت این جواب نادرسته.به محض یافتن جواب اصلاح می شود.

---

جواب قبلی اصلاح شد.