Question

نقطه P و راسهای$A_1,A_2,...,A_n$ از یکی n ضلعی منتظم محاطی روی محیط دایره واحد مفروض اند.ثابت کنید $ PA_1^{2} + PA_2^{2}+...+PA_n^{2} $مقداری ثابت است.(یعنی مستقل از مکان P روی دایره است. )

Answer 1

فرض می‌کنیم $$A_1,A_2,...,A_n$$متناظر با n ریشه واحد باشند، به ویژه فرض می‌کنیم که به ازای $$k=1,2,...,n$$ برچسب $$A_k$$, $$z_k =e^{ \frac{2 \pi ki}{n} } $$باشد برچسب Pرا z می‌گیریم در این صورت: $$\sum _{k=1} ^ {n} PA_k^{2}= \sum _{k=1} ^ {n} |z-z_k | ^{2} = \sum _{k=1} ^{n} (z-z_k)( \bar{z} - \bar{z_k} )= \sum _{k=1} ^{n} (z \bar{z}-z_k \bar{z} -z \bar{z_k} +z_k \bar{z_k} )= \sum _{k=1} ^{n} z \bar{z} -( \sum _{k=1} ^{n} z_k) \bar{z} -z( \sum _{k=1} ^{n} \bar{z_k} )+ \sum _{k=1} ^{n} z_k \bar{z_k} $$; \sum _ {k=1} ^ {n}z_k=0 the root of $$ z^{n} -1=0 and coefficient of z^{n-1} equal zero $ \sum _1^n | z| ^{2}+ \sum _1^n |z_k| ^{2}=n+n=2n $