اگر اضلاع مثلث $a,b,c$ باشد و $r_a,r_b,r_c$ شعاع دایره های محاطی خارجی و $s$ مساحت و $p$ نصف محیط داریم:
$r_a= \frac{s}{p-a} ,r_b= \frac{s}{p-b},r_c= \frac{s}{p-c} \Rightarrow p-a= \frac{s}{r_a} ,p-b= \frac{s}{r_b},p-c= \frac{s}{r_c}$
حالا این روابط را یک بار باهم جمع و یک بار در هم ضرب کنید:
$ \Rightarrow 1):3p-(a+b+c)=s( \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} ) \Rightarrow 3p-2p=s( \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} )$
$p=s( \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} ) \Rightarrow \frac{p}{s} =\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} $
$,2): (p-a)(p-b)(p-c)= \frac{s^3}{r_ar_br_c} \Rightarrow p(p-a)(p-b)(p-c)= \frac{ps^3}{r_ar_br_c}$
$s^2= \frac{ps^3}{r_ar_br_c} \Rightarrow ps=r_ar_br_c$
حالا قرار دهید:
$x:=\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} ,y:=r_ar_br_c$
$ \Rightarrow \frac{p}{s} =x ,ps=y \Rightarrow \frac{p}{s} ps=xy \Rightarrow p^2=xy \Rightarrow p= \sqrt{xy} \Rightarrow s= \sqrt{ \frac{y}{x} } $
$ \Rightarrow a= \sqrt{xy} - \frac{ \sqrt{ \frac{y}{x} } }{r_a} ,b= \sqrt{xy} - \frac{ \sqrt{ \frac{y}{x} } }{r_b} ,c= \sqrt{xy} - \frac{ \sqrt{ \frac{y}{x} } }{r_c}$
پس اضلاع مشخص شد و رسم مثلث با اضلاع داده شده ساده است.پاره خط $BC$ را به طول $a$ رسم کنید و به مرکز $B$ دایره ای به شعاع $c$ و به مرکز $C$ دایره ای به شعاع $b$ رسم کنید اشتراک این دو دایره رأس $A$ است.
$ \Box $
