اگر اضلاع مثلث a,b,c باشد و r_a,r_b,r_c شعاع دایره های محاطی خارجی و s مساحت و p نصف محیط داریم:
r_a= \frac{s}{p-a} ,r_b= \frac{s}{p-b},r_c= \frac{s}{p-c} \Rightarrow p-a= \frac{s}{r_a} ,p-b= \frac{s}{r_b},p-c= \frac{s}{r_c}
حالا این روابط را یک بار باهم جمع و یک بار در هم ضرب کنید:
\Rightarrow 1):3p-(a+b+c)=s( \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} ) \Rightarrow 3p-2p=s( \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} )
p=s( \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} ) \Rightarrow \frac{p}{s} =\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}
,2): (p-a)(p-b)(p-c)= \frac{s^3}{r_ar_br_c} \Rightarrow p(p-a)(p-b)(p-c)= \frac{ps^3}{r_ar_br_c}
s^2= \frac{ps^3}{r_ar_br_c} \Rightarrow ps=r_ar_br_c
حالا قرار دهید:
x:=\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c} ,y:=r_ar_br_c
\Rightarrow \frac{p}{s} =x ,ps=y \Rightarrow \frac{p}{s} ps=xy \Rightarrow p^2=xy \Rightarrow p= \sqrt{xy} \Rightarrow s= \sqrt{ \frac{y}{x} }
\Rightarrow a= \sqrt{xy} - \frac{ \sqrt{ \frac{y}{x} } }{r_a} ,b= \sqrt{xy} - \frac{ \sqrt{ \frac{y}{x} } }{r_b} ,c= \sqrt{xy} - \frac{ \sqrt{ \frac{y}{x} } }{r_c}
پس اضلاع مشخص شد و رسم مثلث با اضلاع داده شده ساده است.پاره خط BC را به طول a رسم کنید و به مرکز B دایره ای به شعاع c و به مرکز C دایره ای به شعاع b رسم کنید اشتراک این دو دایره رأس A است.
\Box
