به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
29 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط mansour (392 امتیاز)

دو دایره از درون بر هم مماس اند و یک مثلث متساوی الاضلاع در دایره بزرگ تر محاط شده است. از رئوس مثلث بر دایره کوچک تر مماس رسم می‌کنیم. ثابت کنید طول یکی از این پاره خط‌ها برابر مجموع دو تای دیگر است.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,420 امتیاز)
انتخاب شده توسط mansour
 
بهترین پاسخ

به خاطر طولانی بودن استدلال فقط ایده را می گویم:

دایره بزرگ را به شعاع $a$ و مرکز $(0,0)$ و دایرۀ کوچک را به شعاع $b$ و مرکز $(a-b,0)$ بگیرید و توجه کنید که $b< a$.این دو دایره در نقطۀ $(a,0)$ بر هم مماس داخلی اند.حالا اگر یکی از رأسهای مثلث در نقطۀ $A(a,0)$ باشد طول مماس بر دایرۀ کوچک در این نقطه در واقع صفر است و رأسهای دیگر مثلت نقاط $B( \frac{-a}{2} , \frac{ \sqrt{3} a}{2} )$ و $B( \frac{-a}{2} , \frac{ -\sqrt{3} a}{2} )$ هستند که اگر طول مماسها در این نقاط را به ترتیب با $x$ و $y$ نشان دهیم به سادگی و به کمک فرمول طول مماس داریم:

$x=y \Rightarrow x=0+y$

در غیر این صورت فرض کنید:

$A=(aCos \theta ,aSin \theta ),0< \theta < \frac{2 \pi }{3} $

$B=(aCos( \theta + \frac{2 \pi }{3} )),aSin( \theta + \frac{2 \pi }{3} ))=(aCos( \theta -\frac{\pi }{3} )),aSin( \theta - \frac{\pi }{3} ))$

$C=(aCos( \theta + \frac{4 \pi }{3} ),aSin( \theta + \frac{4 \pi }{3} ))=(-aCos( \theta + \frac{\pi }{3} ),-aSin( \theta + \frac{\pi }{3} ))$

به ترتیب رأسهای مثلث باشند.در این حالت طول ممهاسها را به ترتیب $x$ و $y$ و $z$ بنامید.می توان نشان داد که:

$(y^2-x^2-z^2)^2=4x^2z^2 \Rightarrow y^2-x^2-z^2=2xz \Rightarrow y^2=x^2+z^2+2xz=(x+z)^2$

$ \Rightarrow y=x+z$

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...