به خاطر طولانی بودن استدلال فقط ایده را می گویم:
دایره بزرگ را به شعاع $a$ و مرکز $(0,0)$ و دایرۀ کوچک را به شعاع $b$ و مرکز $(a-b,0)$ بگیرید و توجه کنید که $b<a$.این دو دایره در نقطۀ $(a,0)$ بر هم مماس داخلی اند.حالا اگر یکی از رأسهای مثلث در نقطۀ $A(a,0)$ باشد طول مماس بر دایرۀ کوچک در این نقطه در واقع صفر است و رأسهای دیگر مثلت نقاط $B( \frac{-a}{2} , \frac{ \sqrt{3} a}{2} )$ و $B( \frac{-a}{2} , \frac{ -\sqrt{3} a}{2} )$ هستند که اگر طول مماسها در این نقاط را به ترتیب با $x$ و $y$ نشان دهیم به سادگی و به کمک فرمول طول مماس داریم:
$x=y \Rightarrow x=0+y$
در غیر این صورت فرض کنید:
$A=(aCos \theta ,aSin \theta ),0< \theta < \frac{2 \pi }{3} $
$B=(aCos( \theta + \frac{2 \pi }{3} )),aSin( \theta + \frac{2 \pi }{3} ))=(aCos( \theta -\frac{\pi }{3} )),aSin( \theta - \frac{\pi }{3} ))$
$C=(aCos( \theta + \frac{4 \pi }{3} ),aSin( \theta + \frac{4 \pi }{3} ))=(-aCos( \theta + \frac{\pi }{3} ),-aSin( \theta + \frac{\pi }{3} ))$
به ترتیب رأسهای مثلث باشند.در این حالت طول ممهاسها را به ترتیب $x$ و $y$ و $z$ بنامید.می توان نشان داد که:
$(y^2-x^2-z^2)^2=4x^2z^2 \Rightarrow y^2-x^2-z^2=2xz \Rightarrow y^2=x^2+z^2+2xz=(x+z)^2$
$ \Rightarrow y=x+z$
$ \Box $
