Question

نقاطA,B,C,D روی دایره چنان قرار دارند که ABقطر و CDقطر نباشد.اگر مماس های C و DدرP و ACوBD یکدیگر را در Qقطع کنند. نشان دهیدPQ بر ABعمود است. المپیاد ریاضی لهستان

Answer 1

ایده:

دایره ای را با مفروضات مسأله در نظر بگیرید و قضیۀ پاسکال را در مورد شش ضلعی $ACCDDB$ بکار ببرید.

قضیۀ پاسکال:

[در هر شش ضلعی محاطی نقاط برخورد اضلاع روبرو در یک راستا هستند.]

توجه کنید که ضلع $CC$ و $DD$ همان مماسها هستند.اگر $H$ محل برخورد $AD$ و $BC$ باشد در واقع $H$ محل برخورد دو تا از ارتفاعهای مثلث $AQB$ است.پس $QM \bot BC$ اما $P$ روی $QH$ است بنابر این:

$PQ \bot AB$

$ \Box $

من شکل را طوری در نظر گرفتم که وتر $CD$ در یک طرف قطر $AB$ باشد.برای حالتهای دیگر اثبات مشابه است.