عدد a را چنان تعیین کنید که در هر نقطه تقاطع دو کره

Question

با سلام وقت بخیر

عدد $a$ را چنان تعیین کنید که در هر نقطه تقاطع دو کره

$x^2+(y-1)^2+z^2=1,(x-a)^2+y^2+z^2=3$

صفحه های مماس بر یکدیگر عمود باشد .

Answer 1

بردار هادی صفحات مماس بر کره ها چنین است:

$\overrightarrow{V_1}=(f_x,f_y,f_z) =(2x,2(y-1),2z), \overrightarrow{V_2}=(2(x-a),2y,2z)$

برای اینکه این صفحات مماس عمود بر هم باشند باید بردارهای هادیشان در نقاط مشترک کره هابر هم عمود باشند:

$\Rightarrow \overrightarrow{V_1} . \overrightarrow{V_2} =0 \Rightarrow 4x(x-a)+4y(y-1)+4z^2=0$

$\Rightarrow 2x(x-a)+2y(y-1)+2z^2=0 \Rightarrow 2x^2-2ax+2y^2-2y+2z^2=0$

$\Rightarrow (x^2+y^2-2y+1+z^2)+(x^2-2ax+a^2+y^2+z^2)-a^2-1=0$

$\Rightarrow (x^2+(y-1)^2+z^2)+((x-a)^2+y^2+z^2)-a^2-1=0$

$\Rightarrow 1+3-a^2-1=0 \Rightarrow 3-a^2=0 \Rightarrow a^2=3 \Rightarrow a=^+_- \sqrt{3}$

$\Box$