Question

نشان دهید:

$$ \psi' (x)+ \psi '(-x)= \frac{ \pi ^{2} }{ (sin \pi x)^{2} } + \frac{1}{ x^{2} } $$ $$ \forall 0 < x < 1$$, $$ \psi' (-x)- \psi '(1-x)= \frac{1}{ x^{2} } $$ $$ \forall 0 < x < 1$$

Answer 1

با اعمال لگاریتم به طرفین $ \Gamma (x+1)=x \Gamma (x)$ زمانیکه $0< x< 1$ داریم:

$\psi(1+x) = \psi (x)+ \frac{1}{x} \Rightarrow \psi(1-x) = \psi (-x)- \frac{1}{x}$

$-\psi'(1-x) = -\psi' (-x)+ \frac{1}{x^2} \Rightarrow \psi' (-x)- \psi '(1-x)= \frac{1}{x^2}$

از طرفی دیگر طبق «فرمول بازتاب اویلر» Euler's Reflection Formula داریم:

$ \psi (1-x)- \psi (x) \pi =cot( \pi x) \Rightarrow - \psi '(1-x)- \psi '(x)=- \frac{ \pi ^2}{sin( \pi x)} $

$ \Rightarrow \psi '(x)+ \psi '(-x)= \psi '(1-x)+ \frac{1}{x^2} - \psi '(1-x)+\frac{ \pi ^2}{sin( \pi x)}=\frac{ \pi ^2}{sin( \pi x)}+ \frac{1}{x^2}$

$ \Box $