به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
24 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط mansour (382 امتیاز)

مطلوب است محاسبه: $$ \frac{3}{1!+2!+3!} + \frac{4}{2!+3!+4!} +...+ \frac{2023}{2021!+2022!+2023!} =?$$

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط mansour (382 امتیاز)
 
بهترین پاسخ

$$?= \sum _ {n=1}^ {2021} \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!} \Longrightarrow \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!} = \frac{n+2}{n!+(n+1).n!+(n+2).(n+1).n!} = \frac{n+2}{n!(1+n+1+(n+2).(n+2))} \Longrightarrow \frac{n+2}{n!.(n+2).(n+2)} = \frac{1}{n!(n+2)} = \frac{n+2-1}{(n+2)!} = \frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!} \Longrightarrow \sum _ {n=1}^ {2021} \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!} = \sum _ {n=1}^ {2021}[ \frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!} ] = \frac{1}{2} - \frac{1}{2023!} $$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...